算法强化 —— K-means

k-means

主要思想

有四个牧师去郊区布道，一开始牧师们随意选择了几个布道点，并且把这几个布道点的情况公告给了郊区所有的居民，于是每个居民到离自己家最近的布道点去听课。听课之后，大家觉得距离太远了，于是每个牧师统计了一下自己上课所有居民的地址，搬到了所有地址的中心地带，并且在海报上更新了自己的布道点的位置。牧师每一次移动不可能离所有人都很近。有的人发现A牧师移动以后自己还不如去B牧师出听课更近，于是每个居民又去了离自己最近的布道点，…,这样，牧师每个礼拜更新自己的位置，居民根据自己的情况选择布道点，最终稳定下来。


从上图中，我们可以看到，A,B,C,D,E是五个在图中点，而灰色的点是我们的种子点，也就是我们用来找点群的点。有两个种子点，所以看= 2

然后K-mean的算法如下：
1.随机在图中取k(这里k = 2)个种子点
2.然后对图中所有点求到这个k个种子点的距离，假如点$P_i$Pi​离种子点$S_i$Si​最近，那么$P_i$Pi​属于$S_i$Si​点群(上图中，我们可以看到A,B输入上面的种子点，C,D,E属于下面中部的种子点)
3.接下来，我们要移动种子点到属于他的"点群"的中心
4.重复第2、3步，直到种子点没有移动(我们可以看到图中的第四步上面的种子点聚合了A,B,C,下面的种子点聚合了D,E)

归纳下K-mean算法的过程是

1.选取初始聚类中心
2.通过计算距离进行聚类
3.重新计算聚类中心
4.重复2-3步直至聚类中心不发生改变(或者变化小于一定的阈值)或者达到迭代次数上限

k-mean损失函数浅探

该算法旨在最小化目标函数，即在上面这些情况下的平方误差函数
$\underset{S}{\arg \min } \sum_{i=1}^{k} \sum_{j \in S_{i}}\left\|x_{j}-\mu_{S_{i}}\right\|^{2}$Sargmin​i=1∑k​j∈Si​∑​∥xj​−μSi​​∥2
其中$S = S_1,S_2,...,S_k$S=S1​,S2​,...,Sk​代表聚类后的k个类别$||x_j - \mu_{si}||^2$∣∣xj​−μsi​∣∣2是我们这里选定的距离公式，用于计算数据点和群集中心的距离
那么，k-means是否一定会收敛？k-means背后的理论支撑————EM(Expectation Maximum)算法

Expectation Maximum

问题定义
假设有两枚硬币A,B,以相同的概率随机选择一个硬币，进行如下抛硬币实验：共做5次实验，每次实验独立的抛10次，结果如下表，例如某次实验产生了H,T,T,T,H,H,T,H,T,H(H代表正面朝上)。a是在知道每次选择的是A还是B的情况下进行，b是在不知道选择的是A还是B的情况下进行，问如何估计两个硬币正面出现的概率。
a Maximum likelihood

CoinA	CoinB
NULL	5H,5T
9H,1T	NULL
8H,2T	NULL
NULL	4H,6T
7H,3T	NULL
24H,6T	9H,11T

b Expectation maximization

CoinA	CoinB
2.2H,2.2T	2.8H,2.8T
7.2H,0.8T	1.8H,0.2T
5.9H,1.5T	2.1H,0.5T
1.4H,2.1T	2.6H,3.9T
4.5H,1.9T	2.5H,1.1T
21.3H,8.6T	11.7H,8.4T

在case b中，我们假设A硬币投正面的概率是0.6，B硬币投正面的概率是0.5，然后通过极大似然估计来估计每一组结果是由A硬币投出的概率和由B硬币投出的概率。然后通过估计出来的选择硬币概率反过来重新计算投正面概率。其中每一轮选择的是A硬币还是B硬币我们称之为隐参数z，A硬币投正面的概率和B硬币投正面的概率称之为模型参数$\theta$θ
总而言之，EM就是解决带隐参数的参数估计问题的一类算法。

Jensen不等式

如果f是凸函数，X是随机变量，那么
$E[f(X)]\geq f(EX)$E[f(X)]≥f(EX)
更特殊的形式
$f\left(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\right) \leq \frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\cdots+f\left(x_{n}\right)}{n}$f(nx1​+x2​+⋯+xn​​)≤nf(x1​)+f(x2​)+⋯+f(xn​)​
log函数上的jensen不等式：

$E[log(X)] \leq log(EX)$E[log(X)]≤log(EX)

算法思路

给定的m个观察样本{$x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}$x(1),x(2),...,x(m)},模型的参数为$\theta$θ,我们想找到隐参数z，能使得$p(X,z)$p(X,z)最大，简历似然函数
$\begin{aligned} \ell(\theta) &=\sum_{i=1}^{m} \log p\left(x^{(i)} ; \theta\right) \\ &=\sum_{i=1}^{m} \log \sum_{z} p\left(x^{(i)}, z ; \theta\right) \end{aligned}$ℓ(θ)​=i=1∑m​logp(x(i);θ)=i=1∑m​logz∑​p(x(i),z;θ)​
直接计算上述似然函数的最大值比较困难，所以我们希望能够找到一个不带隐变量z的函数$\gamma (x|\theta) \leq l(x,z;\theta)$γ(x∣θ)≤l(x,z;θ)恒成立，并用$\gamma (x|\theta) $逼近目标函数。

在绿色线位置，找到一个函数$\gamma$γ,能够使得该函数最接近目标函数，固定$\gamma$γ函数，找到最大值，然后更新$\theta$θ,得到红线
对于红线位置的参数$\theta$θ:固定$\theta$θ，找到一个最好的函数$\gamma$γ,使得该函数最接近目标函数。重复该过程，直到收敛到局部最大值。

K-means的收敛性

求解的似然函数是
$P\left(x, z | \mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{k}\right) \propto\left\{\begin{aligned} \exp \left(-\left\|x-\mu_{z}\right\|_{2}^{2}\right),\left\|x-\mu_{z}\right\|_{2}=\min _{k}\left\|x-\mu_{k}\right\|_{2} \\ 0,\left\|x-\mu_{z}\right\|_{2}>\min _{k}\left\|x-\mu_{k}\right\|_{2} \end{aligned}\right.$P(x,z∣μ1​,μ2​,…,μk​)∝⎩⎪⎨⎪⎧​exp(−∥x−μz​∥22​),∥x−μz​∥2​=kmin​∥x−μk​∥2​0,∥x−μz​∥2​>kmin​∥x−μk​∥2​​
E步是固定模型参数$\mu_k$μk​(中心点的位置)，进而求隐变量的分布，也就是每个样本属于哪个类型
$\gamma_{n k}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { if } k=\operatorname{argmin}_{j}\left\|x_{n}-\mu_{j}\right\|^{2} \\ 0, & \text { otherwise } \end{array}\right.$γnk​={1,0,​ if k=argminj​∥xn​−μj​∥2 otherwise ​
M步是计算出所有样本所属类别之后，更新模型参数$\mu_k$μk​(中心点的位置)：
$\mu_{k}=\frac{\sum_{n} \gamma_{n k} x_{n}}{\sum_{n} \gamma_{n k}}$μk​=∑n​γnk​∑n​γnk​xn​​
通过将K-means"EM"化，就可以通过说明EM收敛性等价到K-means收敛性