深入了解Green函数法

深入了解Green函数法

• Green 函数法
• Green 函数
• 电磁问题中的非齐次微分方程
• Green定理与证明
• 1 、二维空间中的Green公式
• 2、广义分部积分公式
• 定理1
• 3、第一Green公式和第二Green公式
• 定理2
• Green函数法原理

Green 函数法

 Green函数法是求解非齐次微分方程的一个重要方法，在求解含场源的电磁场边值问题中具有广泛的应用。

Green 函数

现考虑一般非齐次线性微分方程：
$L u(r) = f(r) \tag{1}$Lu(r)=f(r)(1)
式中，$L$L为线性微分算子。$u(r)$u(r)为待求函数；$f(r)$f(r)为方程的自由项（或称源函数、激励函数），他们是空间坐标$r$r的函数。
在微分方程 (1)的解形式上可将其两边同乘逆算子$L^{-1}$L−1有：
$L^{-1}Lu(r)=L^{-1}f(r)$L−1Lu(r)=L−1f(r)
即
$u(r)=L^{-1}f(r) \tag{2}$u(r)=L−1f(r)(2)
  设源函数$f(r)$f(r)限于在有限体积$V$V内,它在V外为零。按狄拉克（$\delta$δ）函数的定义及其性质，我们可以将源函数$f(r)$f(r)表示为：
$f(r)=\iiint_{V}f(r^{\prime})\delta(r-r^{\prime})dv^{\prime} \tag{3}$f(r)=∭V​f(r′)δ(r−r′)dv′(3)
将（3）代入（2）式可得：
$\begin{aligned} u(r) & = L^{-1}\iiint_{\rm{v^{\prime}}} f(r^{\prime})\delta(r-r^{\prime})dv^{\prime} \qquad \\ & = \iiint_{\rm{v^{\prime}}} f(r^{\prime}) L^{-1} \delta(r-r^{\prime})dv^{\prime} \end{aligned} \tag{4}$u(r)​=L−1∭v′​f(r′)δ(r−r′)dv′=∭v′​f(r′)L−1δ(r−r′)dv′​(4)
令
$L^{-1}\delta(r-r^{\prime}) = G(r,r^{\prime}) \tag{5}$L−1δ(r−r′)=G(r,r′)(5)
则
$u(r) = \iiint_{\rm V^{\prime}} G(r,r^{\prime})dv^{\prime} \tag{6}$u(r)=∭V′​G(r,r′)dv′(6)
式中，带撇的坐标为源点坐标；不带撇的坐标为场地坐标。对（5）式两边同时做算子$L$L运算，即有：
$LG(r,r^{\prime}) = \delta(r-r^{\prime}) \tag{7}$LG(r,r′)=δ(r−r′)(7)
方程（7）的解$G(r,r^{\prime})$G(r,r′)就定义为相应L算子方程的Green函数（亦称为点源影响函数）。比较（1）和（7）式可以发现，$G(r,r^{\prime})$G(r,r′)所满足的方程式将源待求解的非齐次方程的自由项$f$f变成$\delta$δ函数、$u\Rightarrow G$u⇒G后的方程。由于方程（7）的自由项是$\delta$δ函数，因此求解比（1）简单许多。
 $G(r,r^{\prime})$G(r,r′)的物理意义是位于$r^{\prime}$r′的电源在r处所产生的场。具有强度为$f(r^{\prime})dv^{\prime}$f(r′)dv′的点源所产生的场则为$f(r^{\prime}) G(r,r^{\prime})dv^{\prime}$f(r′)G(r,r′)dv′,由于方程的线性，因而具有连续场源分布的$f(r)$f(r)所产生的场等于具有强度的各个点源的叠加，从而表示为（6）的积分形式。  工程上将$\delta$δ函数称为单位脉冲函数。

电磁问题中的非齐次微分方程

  对于静电场，在具有介电常数$\varepsilon$ε的媒质中，当存在有电荷密度分布$\rho(r)$ρ(r)时，它在空间所产生的静电势$u=\phi(r)$u=ϕ(r)满足标量Possion方程：
$\nabla^2\phi=-\frac{1}{\varepsilon}\rho \qquad (L=-\nabla^2) \tag{8}$∇2ϕ=−ε1​ρ(L=−∇2)(8)
  对于稳恒电流场，在具有磁导率$\mu$μ的媒质中，当存在有电流密度分布$\mathbf{J(r)}$J(r)时，它在空间所产生的磁矢量势$\mathbf{A(r)}$A(r)满足矢量Possion方程：
$\nabla^2\mathbf{A}=-\mu\mathbf{J} \qquad (L=-\nabla^2) \tag{9}$∇2A=−μJ(L=−∇2)(9)
  对于时间因子$e^{j\omega t}$ejωt的时谐电磁场，采用势函数法，在均匀各向同性$\varepsilon$ε、$\mu$μ媒质中，当含有电荷密度分布$\rho(r)$ρ(r)时，它在空间所产生的电标量势$\phi$ϕ满足非齐次标量Helmholtz方程：
$\nabla^2\phi+k^2\phi=-\frac{1}{\varepsilon}\rho \qquad (L=-(\nabla^2+k^2) \tag{10}$∇2ϕ+k2ϕ=−ε1​ρ(L=−(∇2+k2)(10)
而当含有电流密度分布$\mathbf{J(r)}$J(r)时，其产生的磁矢量势$\mathbf{A}$A满足非齐次的矢量Helmholtz方程：
$\nabla^2\mathbf{A}+k^2\mathbf{A}=-\mu\mathbf{J} \qquad (L=-(\nabla^2+k^2) \tag{11}$∇2A+k2A=−μJ(L=−(∇2+k2)(11)
由于（9）式和（11）中的$\mathbf{A}$A的方向与$\mathbf{J}$J的方向相同，我们可以将他们分解成三个直角坐标分量后求解，因此这两个方程亦可归为标量的Possion和Helmholtz方程的求解。
  对于存在有$\rho(r)$ρ(r)和$\mathbf{J(r)}$J(r)的电场$\mathbf{E}$E和磁场$\mathbf{H}$H所满足的方程为：
$\nabla^2\mathbf{E}+k^2\mathbf{E}=\frac{1}{\varepsilon}\nabla\rho+j\omega \mu\mathbf{J} \tag{12}$∇2E+k2E=ε1​∇ρ+jωμJ(12)
和
$\nabla^2\mathbf{H}+k^2\mathbf{H}=-\nabla\times\mathbf{J} \tag{13}$∇2H+k2H=−∇×J(13)
综上所述，此时对应的Green函数满足方程:
$\nabla^2G(r,r^{\prime})=-\delta(r-r^{\prime}) \tag{14}$∇2G(r,r′)=−δ(r−r′)(14)
和
$\nabla^2G(r,r^{\prime})+k^2G(r,r^{\prime})=-\delta(r-r^{\prime}) \tag{15}$∇2G(r,r′)+k2G(r,r′)=−δ(r−r′)(15)
  通常，对于数学上的定解问题，或具体的电磁问题（或物理问题），方程的解$u(r)$u(r)必须满足问题给定的边界条件和自然（有界、单值）条件，其$G(r,r^{\prime})$G(r,r′)满足相应的齐次边界条件。因而，不同边值问题具有不同形式的方程和不同的边界条件就将有不同的Green函数。
  对于无界域（且空间中无任何障碍物），即自由空间倾向，相应方程（1）的Green函数，被称为该方程的自由空间Green函数，亦称为该方程的基本解；并通常用$G_0(r,r^{\prime})$G0​(r,r′)表示。

Green定理与证明

  Gauss-Green公式又称为散度定理，是数学分析中的一个重要的公式，已成为偏微分方程的一个基本工具，广泛应用于现代数学、现代物理学的许多领域。二维空间的Green公式可以看成是Green定理的一个特例，然后再利用散度定理给出广义分部积分公式、第一Green公式和第二Green公式的证明。

1 、二维空间中的Green公式

先给出如下的散度定理：
  设$\Omega$Ω是n维空间$R^n$Rn的一个有界区域，其边界$\partial\Omega$∂Ω是分片光滑的曲面。若函数$P_i(x_{1},x_{2},...,x_n)(i=1,2,...,n)$Pi​(x1​,x2​,...,xn​)(i=1,2,...,n)在闭区域$\overline{\Omega}=\Omega+\partial\Omega$Ω=Ω+∂Ω上连续，在$\Omega$Ω内有一阶的连续偏导数，则：
$\int...\int_{\Omega}\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial P_i}{\partial x_i}dx_1...dx_n=\int...\int_{\partial\Omega} \sum_{i=1}^n P_i cos(n,x_i)dS \tag{16}$∫...∫Ω​i=1∑n​∂xi​∂Pi​​dx1​...dxn​=∫...∫∂Ω​i=1∑n​Pi​cos(n,xi​)dS(16)
  其中，n是曲面$\partial\Omega$∂Ω的单位外法向量，$cos(n,x_i)$cos(n,xi​)表示曲面$\partial\Omega$∂Ω的单位外方向量与$x_i$xi​轴的方向余弦，$dS$dS为$\partial\Omega$∂Ω的面积元。
  在公式（16）中，当n=2时，$\overline{\Omega}$Ω为平面上由有限条可求曲线围城的闭区域，$\partial\Omega$∂Ω表示区域$\Omega$Ω的边界曲线，$dS$dS表示弧长元。取$x_1=x,x_2=y,P_1=Q,p_2=-P$x1​=x,x2​=y,P1​=Q,p2​=−P且$P$P,$Q$Q在$\overline{\Omega}$Ω上连续，并有连续的一阶偏导数，则公式（16）可表示为：
$\iint_{\Omega}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\int_{\partial\Omega}(Qcos(n,x)-Pcos(n,y))dS \tag{17}$∬Ω​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy=∫∂Ω​(Qcos(n,x)−Pcos(n,y))dS(17)
设t为边界$\partial\Omega$∂Ω的单位切向量，由于n取外法线方向，因而
$cos(n,x)=cos(t,y),cos(n,y)=-cos(t,x)$cos(n,x)=cos(t,y),cos(n,y)=−cos(t,x)
下图关于单位切向量和法向量运动到原点时，可以帮助我们理解上式。其中N为法向量，T为单位切向量，详细请看曲线弧长，单位切向量，主单位法向量

由公式(17)可得：
$\iint_{\Omega}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy =\int_{\partial\Omega}(Qcos(n,t)+Pcos(n,t))dS=\int_{\partial\Omega} Pdx+Qdy$∬Ω​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy=∫∂Ω​(Qcos(n,t)+Pcos(n,t))dS=∫∂Ω​Pdx+Qdy
这是常见的Green公式的表示形式。令$\overrightarrow{\mathbf{\nu}}=[Q,P], \nabla=[\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}],d\overrightarrow{a}=[dx,dy]$ν=[Q,P],∇=[∂x∂​,∂y∂​],da=[dx,dy]，则上式写成向量的形式可以表示为：
$\iint_{\Omega}\nabla \cdot \overrightarrow{\mathbf{\nu}}dxdy=\oint_{\partial\Omega} \overrightarrow{\mathbf{\nu}} \cdot d\overrightarrow{a}$∬Ω​∇⋅νdxdy=∮∂Ω​ν⋅da
上式即为散度定理，更一般的可以表示为
$\int_v(\nabla \cdot \mathbf{\nu})d\tau =\oint_s\nu \cdot da$∫v​(∇⋅ν)dτ=∮s​ν⋅da

2、广义分部积分公式

  通过公式（16）可以推导出一般情形下的分部积分公式，即

定理1

  设$V$V是n维空间$R^n$Rn的一个有界区域，其边界$\partial V$∂V是分片光滑曲面。若函数$\phi$ϕ和$\psi$ψ在闭区间$\overline{V}=V+\partial V$V=V+∂V上连续，在$V$V内有一阶的连续偏导数，则：
$\begin{aligned}\int...\int_{V}\phi \frac{\partial\psi}{\partial x_i}dx_1...dx_n=\int...\int_{\partial V}\phi \psi cos(n,x_i)dS- \\ \int...\int_{V}\psi \frac{\partial\phi}{\partial x_i}dx_1...dx_n \tag{18}\end{aligned}$∫...∫V​ϕ∂xi​∂ψ​dx1​...dxn​=∫...∫∂V​ϕψcos(n,xi​)dS−∫...∫V​ψ∂xi​∂ϕ​dx1​...dxn​​(18)
证明
利用公式（16），立即可得：
$\int...\int_{V}\frac{\partial P_i}{\partial x_i}dx_1...dx_n=\int...\int_{\partial V} P_i cos(n,x_i)dS，(i=1,2,...,n) \tag{19}$∫...∫V​∂xi​∂Pi​​dx1​...dxn​=∫...∫∂V​Pi​cos(n,xi​)dS，(i=1,2,...,n)(19)
由于$\frac{\partial(\phi \psi)}{\partial x_i}=\phi \frac{\partial \psi}{\partial x_i}+\psi \frac{\partial \phi}{\partial x_i},(i=1,2,...,n)$∂xi​∂(ϕψ)​=ϕ∂xi​∂ψ​+ψ∂xi​∂ϕ​,(i=1,2,...,n)
两边在区域$V$V上积分，得：
$\int...\int_{V} \frac{\partial(\phi \psi)}{\partial x_i}dx_1 ... dx_n=\int...\int_{V} \left (\phi \frac{\partial \psi}{\partial x_i}+\psi \frac{\partial \phi}{\partial x_i} \right)dx_1 ... dx_n$∫...∫V​∂xi​∂(ϕψ)​dx1​...dxn​=∫...∫V​(ϕ∂xi​∂ψ​+ψ∂xi​∂ϕ​)dx1​...dxn​
令$P_i=\phi \psi$Pi​=ϕψ,利用公式（19）可得：
$\int...\int_{V} \frac{\partial(\phi \psi)}{\partial x_i}dx_1 ... dx_n=\int...\int_{\partial V}\phi \psi cos(n,x_i)dS$∫...∫V​∂xi​∂(ϕψ)​dx1​...dxn​=∫...∫∂V​ϕψcos(n,xi​)dS
联立以上两式，即可得带分部积分公式（18）。证毕。

3、第一Green公式和第二Green公式

我们用$\nabla^2$∇2表示n维空间$R^n$Rn中的Laplace算子，即$\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+...+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2} \tag{20}$∇2=∂x12​∂2​+∂x22​∂2​+...+∂xn2​∂2​(20)
$\frac{\partial \phi}{\partial n}$∂n∂ϕ​表示函数$\phi$ϕ沿曲面${\partial\Omega}$∂Ω的外法向量导数，即
$\frac{\partial \phi}{\partial n}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial \phi}{\partial x_i}cos(n,x_i) \tag{21}$∂n∂ϕ​=i=1∑n​∂xi​∂ϕ​cos(n,xi​)(21)
$\nabla \phi$∇ϕ表示函数$\phi$ϕ的梯度，即
$\nabla \phi = \left (\frac{\partial \phi}{\partial x_1},\frac{\partial \phi}{\partial x_2},...,\frac{\partial \phi}{\partial x_n}\right) \tag{22}$∇ϕ=(∂x1​∂ϕ​,∂x2​∂ϕ​,...,∂xn​∂ϕ​)(22)

定理2

  设$V$V是n维空间$R^n$Rn的一个有界区域，其边界$\partial V$∂V是分片光滑曲面。若函数$\phi$ϕ和$\psi$ψ在闭区间$\overline{V}=V+\partial V$V=V+∂V上连续,在$V$V内有一阶的连续偏导数和二阶连续偏导数，则：
$\int...\int_{V}\phi \nabla^2\psi dx_1 ... dx_n=\int...\int_{\partial V}\phi \frac{\partial \psi}{\partial n}dS-\int...\int_{V}\nabla\phi \cdot \nabla \psi dx_1...dx_n \tag{23}$∫...∫V​ϕ∇2ψdx1​...dxn​=∫...∫∂V​ϕ∂n∂ψ​dS−∫...∫V​∇ϕ⋅∇ψdx1​...dxn​(23)
$\int...\int_{V}(\phi \nabla^2\psi -\psi \nabla^2\phi)dx_1...dx_n=\int...\int_{\partial V} \left(\phi \frac{\partial \psi}{\partial n} -\psi \frac{\partial \phi}{\partial n}\right)dS \tag{24}$∫...∫V​(ϕ∇2ψ−ψ∇2ϕ)dx1​...dxn​=∫...∫∂V​(ϕ∂n∂ψ​−ψ∂n∂ϕ​)dS(24)
$\int...\int_{V}(\nabla^2\psi )dx_1...dx_n=\int...\int_{\partial V} \frac{\partial \psi}{\partial n} dS \tag{25}$∫...∫V​(∇2ψ)dx1​...dxn​=∫...∫∂V​∂n∂ψ​dS(25)
证明
在分部积分公式中，对$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x_i^2}$∂xi2​∂2ψ​进行分部积分，得：
$\begin{aligned}\int...\int_{V}\phi \frac{\partial^2\psi}{\partial x_i^2}dx_1...dx_n=\int...\int_{\partial V}\phi \frac{\partial \psi}{\partial x_i} cos(n,x_i)dS- \\ \int...\int_{V}\frac{\partial\phi}{\partial x_i} \frac{\partial\psi}{\partial x_i}dx_1...dx_n \tag{26}\end{aligned}$∫...∫V​ϕ∂xi2​∂2ψ​dx1​...dxn​=∫...∫∂V​ϕ∂xi​∂ψ​cos(n,xi​)dS−∫...∫V​∂xi​∂ϕ​∂xi​∂ψ​dx1​...dxn​​(26)
对（26）式求和，得
$\begin{aligned}\int...\int_{V}\phi \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2\psi}{\partial x_i^2}dx_1...dx_n=\int...\int_{\partial V}\phi \sum_{i=1}^n \frac{\partial \psi}{\partial x_i} cos(n,x_i)dS- \\ \int...\int_{V} \sum_{i=1}^n \frac{\partial\phi}{\partial x_i} \frac{\partial\psi}{\partial x_i}dx_1...dx_n \end{aligned}$∫...∫V​ϕi=1∑n​∂xi2​∂2ψ​dx1​...dxn​=∫...∫∂V​ϕi=1∑n​∂xi​∂ψ​cos(n,xi​)dS−∫...∫V​i=1∑n​∂xi​∂ϕ​∂xi​∂ψ​dx1​...dxn​​
结合（20），（21），（22）式可得公式（23），由于$\phi$ϕ和$\psi$ψ可以相互兑换，同理可得：
$\int...\int_{V}\psi \nabla^2\phi dx_1 ... dx_n=\int...\int_{\partial V}\psi \frac{\partial \phi}{\partial n}dS-\int...\int_{V}\nabla\psi \cdot \nabla \phi dx_1...dx_n \tag{27}$∫...∫V​ψ∇2ϕdx1​...dxn​=∫...∫∂V​ψ∂n∂ϕ​dS−∫...∫V​∇ψ⋅∇ϕdx1​...dxn​(27)
公式（23）与公式（27）相减可得公式（24）.在公式（24）中取$\phi \equiv1$ϕ≡1,即可得到公式（25）。证毕。
其中公式（23）和公式（24）分别被称为第一Green公式和第二Green公式。

Green函数法原理

  Green函数法将原场问题的求解问题分成两部分：首先是求解方程（15）式满足齐次边界条件的解；然后再将问题的解化为求一个被积函数含Green函数与已知方程的非齐次项（电流源$J$J或电流密度$\rho$ρ）的体积分，及一个含Green函数（或其导数）与边界条件的面积分之和。详细理解可以参看（36）式。
  第二Green公式即公式（24）我们可以重新写为：
$\iiint_{V}(\phi \nabla^2\psi -\psi \nabla^2\phi)dv=\oint_S\left(\phi \frac{\partial \psi}{\partial n} -\psi \frac{\partial \phi}{\partial n}\right)dS \tag{28}$∭V​(ϕ∇2ψ−ψ∇2ϕ)dv=∮S​(ϕ∂n∂ψ​−ψ∂n∂ϕ​)dS(28)
（28）式给出了函数$\phi$ϕ和$\psi$ψ满足的积分关系，若已知其中一个函数，则另一函数便可由已知函数的积分表示，因而有重要的实际应用意义。因此，令其中$\phi$ϕ为待求微分方程的解，而$\psi=G(r,r^{\prime})$ψ=G(r,r′)为相应方程的Green函数，则由（28）式，我们可以得到含有$\phi$ϕ与已知$G(r,r^{\prime})$G(r,r′)的积分关系式。
  现考虑Helmholtz方程边值问题。设在区域$V$V内，（28）式中的$\phi$ϕ满足方程：
$\nabla^2\phi(r^{\prime})+k^2\phi(r^{\prime})=-f \tag{29}$∇2ϕ(r′)+k2ϕ(r′)=−f(29)
而$G(r,r^{\prime})=\psi$G(r,r′)=ψ是相应Helmholtz方程的Green函数，满足方程：
$\nabla^2 G(r,r^{\prime})+k^2 G(r,r^{\prime})=-\delta(r-r^{\prime}) \tag{30}$∇2G(r,r′)+k2G(r,r′)=−δ(r−r′)(30)
将$G(r,r^{\prime})=\psi$G(r,r′)=ψ代入（28）式可得：
$\begin{aligned}\iiint_{V}(G(r,r^{\prime}) \nabla^2\phi(r^{\prime}) -\phi \nabla^2G(r,r^{\prime}) )dv^{\prime} \\ =\oint_S\left(G(r,r^{\prime}) \frac{\partial \phi(r^{\prime})}{\partial n} -\phi \frac{\partial G(r,r^{\prime})}{\partial n}\right)dS^{\prime} \tag{31}\end{aligned}$∭V​(G(r,r′)∇2ϕ(r′)−ϕ∇2G(r,r′))dv′=∮S​(G(r,r′)∂n∂ϕ(r′)​−ϕ∂n∂G(r,r′)​)dS′​(31)
由$G(r,r^{\prime})$G(r,r′)乘上（29）可得：
$G(r,r^{\prime})\nabla^2\phi(r^{\prime})+k^2\phi(r^{\prime}) G(r,r^{\prime})=-f(r^{\prime}) G(r,r^{\prime})\tag{32}$G(r,r′)∇2ϕ(r′)+k2ϕ(r′)G(r,r′)=−f(r′)G(r,r′)(32)
由$\phi(r^{\prime})$ϕ(r′)乘上（30）可得：
$\phi(r^{\prime})\nabla^2 G(r,r^{\prime})+k^2 G(r,r^{\prime}) \phi(r^{\prime})=-\phi(r^{\prime})\delta(r-r^{\prime}) \tag{33}$ϕ(r′)∇2G(r,r′)+k2G(r,r′)ϕ(r′)=−ϕ(r′)δ(r−r′)(33)
（32）式减(33)式得：
$G(r,r^{\prime})\nabla^2\phi(r^{\prime})-\phi(r^{\prime})\nabla^2 G(r,r^{\prime})=-f(r^{\prime}) G(r,r^{\prime})+\phi(r^{\prime})\delta(r-r^{\prime})\tag{34}$G(r,r′)∇2ϕ(r′)−ϕ(r′)∇2G(r,r′)=−f(r′)G(r,r′)+ϕ(r′)δ(r−r′)(34)
将（34）式代入（31），且由狄拉克函数$\delta(r-r^{\prime})$δ(r−r′)的性质有$\iiint_V \phi(r^{\prime})\delta(r-r^{\prime})=\phi(r) \tag{35}$∭V​ϕ(r′)δ(r−r′)=ϕ(r)(35)
整理可得
$\phi(r) =\iiint_V G(r,r^{\prime}) f(r^{\prime}) dv^{\prime}+\oint_S\left(G(r,r^{\prime}) \frac{\partial \phi(r^{\prime})}{\partial n} -\phi \frac{\partial G(r,r^{\prime})}{\partial n}\right)dS^{\prime} \tag{36}$ϕ(r)=∭V​G(r,r′)f(r′)dv′+∮S​(G(r,r′)∂n∂ϕ(r′)​−ϕ∂n∂G(r,r′)​)dS′(36)
（36）式表明，$V$V内任意一点的$\phi(r)$ϕ(r)值可表为对$V$V的体积分与对界面$S$S的面积分之和；前者表示$V$V内源$f$f分布对$\phi(r)$ϕ(r)的贡献，后者表示界面$S$S上感应面源分布对$\phi(r)$ϕ(r)的贡献。