对这个函数取 极限 会很有意思。我先把它画出来，之后我们会做一些练习。
这里要求出趋向于a时，函数的极限是多少。我们把表达式写一下：
假设图上这一点是L，从任一边趋向a时，比如从左边，这时f(x)趋向于什么。
当在这个绿色箭头，可以看到，f(x)是趋向于L的，如图：
由于我们求极限，必须保证a左右两边的极限都是同一个数。
所以，我们也要从右一边接近，选这个红色的点在这个f(x)的线上，随着
越来越接近
点，
f(x)趋向于，当
趋向于
时的极限为
。
我想我们已经理解这个定义了。
但这并不是很实际上相对于极限的概念，这样的说法很不精确。
我目前所说的仅限于趋向于某个数时，f(x)趋近于什么。
所以本文章中，我会尝试介绍一种新的极限的定义。
这种定义比简单的，当趋向某个值，f(x)趋向于什么的定义方式，要精确很多。
新的定义就是：
这个式子意义在于，我总是可以给出这个点的一个范围，这里谈到了范围。
我并不是针对整个定义域而言，这里说的范围是像规定这么一段距离。
只要在这范围之内可以保证f(x)的值和的距离，始终不会超过某个给定值。
你们可以不相信我并怀疑f(x)能不能始终位于和相距0.5的范围内。
你们给出的距离是0.5，此时，我必须能找到点a附近的一段范围。
确保f(x)值始终和相距0.5以内，也就是说f(x)始终位于这段范围内，只要
位于以a为中心的那段范围，
只要满足你们所给出的范围，那么f(x)肯定能达到你们的要求。
我们画个大图，重新说明一下：
这个式子的意义就是：你给我距的任何一个距离，实际上我们称这段距离为
，与最开始提出的定义相对应。
f(x)与的距离不超过
，
可以是任何大于0的实数，所以这里的这段距离就是
（\epsilon）。如图：
对于给出的任何 任何实数，这点是
，这点是
。
极限的 定义是说，不论
是多少，总可以在a的附近确定一段范围并称之为
。如图：
只要在 和
之间。选取一个
值，只要
位于这段范围就可以保证与
相对应的f(x)位于你所给出的范围。
思考一下，你们会觉得有道理！
实质上说，我可以无限接近极限值，只要，我所说的无限接近是指你们可以任意给出一个 值。
通过给出一个需要趋近的点，附近的一段范围f(x)就可以无限接近极限值，
只要是在a附近的这段范围内，选取的值，只要是在这里取一个
值，我就可以保证f(x)位于你们所指定的范围。
为了更加具体一点：
假设，的位置我们一律换成具体的数字来表示，假设这个是
，
。如图：
也就是求趋向于1时，f(x)的极限是多少？
那里的f(x)值是2。你们可以给我任何一个数字。假定你们想用几个具体例子来验证一下，
比如想要f(x)位于距2这点0.5的距离范围内，也就是在1.5和2.5之间。
那么只要选在
可以任意接近，但只要
选在对于这个函数，假定是在0.9和1.1之间，
那么在这个例子中， 和极限点的距离只有0.1。只要在和1相距0.1范围内选取
就可以确保f(x)位于要求的范围。如图：
希望你有初步的理解。现在我用 和
来给出定义，实际上在课本中见到的就是这种。
下一篇文章开始用这个定义来证明极限。
——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。