outcomes
- 理解在求解一般形状微元的FE矩阵的复杂计算，这为在自然坐标系下建立有限元提供了条件。
- 在自然坐标系下构建1D曲线元和四边形元，并推导FE矩阵。
- 在上述构建过程中学习转换的雅可比行列式。
- 理解数值整合来计算FE积分，尤其是高斯勒让德正交。（Gauss Legendre Quadrature）
普通形状的有限元
2D四边形：
3D六面体：
FE公式-物理坐标VS自然坐标
形状函数依赖于元素的几何形状.
积分限不容易定义，因此FE积分的计算变得很繁琐。
积分限制取决于元素形状
自然坐标下的FE公式
积分范围一般为［０，１］ｏｒ［－１，１］
自然坐标下的FE公式-1D曲线
假设问题域是二维空间中的一条曲线，有限元法可以沿着线性单元求解，但由于线性单元无法精确匹配曲率，在精度上有所妥协。在这种情况下，二次元(在几何中)可能更合适。
通常，FE的积分由以下确定：
现在，假设可以定义从物理坐标到局部坐标的映射函数
首先，坐标s由曲线的位置向量(x, y)定义。
回想一下，shape函数用于定义字段变量
同样的形状函数集也可以用于几何图形。因此，对曲线元素使用二次形状函数，
从几何微积分中可以看出，初等长度为
其中
基本长度变成
雅可比行列式（Jacobian of transformation）导数项：
FE积分：
1D积分计算
对于积分为多项式函数的FE积分，最有效的数值积分方法是高斯-勒让德积分法。
对于高斯-勒让德求积，仅用高斯点就可以求出多项式函数(2 - 1)阶的精确解。
最后，利用高斯-勒让德积分法求出了有限元积分。