数论学习笔记

质数

定义

只存在 $1$ 和它本身两个约数的数。
质数分布较稀疏，对于一个正整数 $n$ ，不超过 $n$ 的质数大约有 $\ln(n)/n$ 个。

质数的判定

1、试除法
若一个正整数 $n$ 为合数，则一定存在一个 $x$ ，使 $x|n$ 且 $x<=\sqrt{n}$ 。
证明：
由质数的定义可知，一定存在一个正整数 $y$ ，使 $x<=y$ 且 $x * y=n$ 。
若 $x<=\sqrt{n}$ 且 $y<=\sqrt{n}$ ，则当且仅当 $x=y=\sqrt{n}$ 时， $x * y=n$ 才成立。故此时 $x=\sqrt{n}$ 。
若 $x>\sqrt{n}$ 且 $y>\sqrt{n}$ ，则 $x * y>n$ 。故当 $y>\sqrt{n}$ 时， $x<=\sqrt{n}$ 。
综上述，对于每个合数 $n$ ，一定存在 $x$ ，使 $x|n$ ，且 $x<=\sqrt{n}$ 。
根据此命题，我们只需扫描 $[2,\sqrt{n}]$ 内所有的数，判断其是否是 $n$ 的约数即可。

bool prime(int n) {
  for (int i = 2; i <= n; ++i)
    if (n % i == 0) return false;
  return true;
}

时间复杂度 $O(\sqrt{n})$

2、Eratosthenes筛法
在试除法中，我们通过枚举一个数的约数来判断其是否是质数。而筛法的思想与其相反。对于每个数，我们枚举它的倍数，易证其倍数一定为合数。对于每个合数，我们将其“筛去”，而剩下的数就是质数了。
数论学习笔记
观察上图，可以发现，只需对每个质数 $x$ ，从 $x^2$ 开始枚举倍数，并将其筛去，即可得到质数表。

void sieve(int n, bool *prime) {
  memset(prime, true, sizeof is_prime);
  prime[1] = false;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (!prime[i]) continue;
    for (int j = i * i; j <= n; j += i)
      prime[j] = false;
  }
}

时间复杂度为 $O(\Sigma_{p}(n/p))$ $=$ $O(n\log\log n)$ ，效率接近线性。
3、线性筛
尽管加了许多优化，Eratosthenes筛法仍然会重复标记合数。可以这样想，如果能够确定每个合数会被哪个质数筛去，就可以在线性时间复杂度内筛除质数表。
于是维护一个 $v$ 数组， $v_i$ 表示 $i$ 的最小质因数。同时维护一个 $p$ 数组，记录质数表。

void sieve(int n, int &pr, int *p, int *v) {
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (v[i] == 0) v[i] = i, p[++pr] = i;
    // 没被筛，是质数
    for (int j = 1; j <= pr; ++j) {
      int k = i * p[j];
      if (i % p[j] == 0 || k > n) break; 
      // 有比p[j]更小的质因子或超出范围
      v[k] = p[j];
    }
  }
}

质因数分解

算数基本定理（唯一分解定理）

任何一个大于1的自然数 $N$ ，都可以唯一分解成有限个质数的乘积。
即 $N = \Pi_{i=1}^m { p_i ^ { c_i } }$ ，其中 $p_i$ 为质数且 $p_{i-1} < p_i$ ， $c_i$ 为正整数。
这样的分解叫做 $N$ 的标准分解式。

质因数分解算法

1、试除法
对于一个正整数 $N$ ，可以证明至多存在一个大于 $\sqrt N$ 的质因数。所以只需扫描 $[2, \sqrt N]$ 之间的数。对于每个被扫描的数 $d$ ，若 $d$ 为质数且 $d|n$ ，则将 $d$ 除尽，并统计其个数。

void decom(int n, int &m, int *p, int *c) {
  // 分解 n，分解式储存在 p[1..m] 及 c[1..m] 中
  m = 0;
  for (int i = 2, size = sqrt(n); i <= size; ++i)
    if (n % i == 0) {
      p[++m] = i, c[m] = 0;
      for (; n % i == 0; n /= i)
        ++c[m];
    }
  if (n > 1) p[++m] = n, c[m] = 1; // 特判 n 为质数的情况
}

时间复杂度为 $O(\sqrt N)$ 。
2、短除法
当已经筛出每个数的最小质因数时，可以更加高效的分解质因数。
对于每个正整数 $N$ ，易证其最小质因数 $v(N)$ 一定在其唯一分解式中。则将 $N$ 除以 $v(N)$ 后，可迭代处理 $N / v(N)$ 。边界条件为 $N = 1$ 。

void decom(int n, int &m, int *p, int *c) {
  m = 0;
  for (; n != 1; n /= v[n])
    if (p[m] == v[n]) // 重复，累计个数
      ++c[m];
    else
      p[++m] = v[n], c[m] = 1;
}

约数

定义

略。。。

算数基本定理的推论

对于一个正整数 $N$ ：
$N$ 的约数个数为 $\Pi_{i=1}^m ({c_i + 1})$ 。
$N$ 的约数和为 $\Pi_{i=1}^m(\Sigma_{j=0}^{c_i}(p_i)^j)$

正约数集合

1、试除法
若 $d|N$ 且 $d<=\sqrt N$ ，则定有 $(N/d)|N$ 。即约数总是成对出现的。
因此，只需扫描 $[1,\sqrt N]$ 中的数。对于每个数 $d$ ，判断其能否整除 $N$ ，若能整除，则将 $d$ 和 $N/d$ 同时加入 $N$ 的约数集合中。当 $d=\sqrt N$ 时特判即可。

void calc(int n, int &m, int *d) {
  m = 0;
  for (int i = 1, size = sqrt(n); i <= size; ++i)
    if (n % i == 0) {
      d[++m] = i;
      if (i != size) d[++m] = n / i;
    }
}

时间复杂度为 $O(\sqrt N)$ 。
推论：一个正整数 $N$ 的约数个数上界为 $\sqrt N$ 。
2、迭代法
求 $[1,N]$ 中每个数的约数集合，可以使用迭代法。
扫描每个数 $d$ ，并将其加入其所有范围内的倍数的约数集合中。

void calc(int n, vector<int> *d) {
  for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = i; j <= n; j += i)
      d[j].push_back(i);
}

时间复杂度为 $O(\Sigma_{i=1}^N N / i)=O(N\log N)$ 。
注：调和级数 $\Sigma_{i=1}^N 1/i=\ln(n+1)+\lambda$ ，其中 $\lambda$ 为欧拉常数。
推论： $[1,N]$ 中每个数的约数个数总和大约为 $N\log N$ 。

约数和 & 约数个数和

除法分块

详见P2261 [CQOI2007]余数求和。
这是Capella的题解，比较详细。

数论函数

积性函数

线性筛

线性筛可以在线性的时间复杂度内求出一个积性函数的值。
首先要完全理解线性筛素数。
考虑到线性筛时 $i*p_j$ 会被 $p_j$ 筛去，
将 $i$ 分解，得到 $p_1^{c_1}*p_2^{c_2}...p_m^{c_m}$ ，
则一定有 $p_j\leq p_1$ 。
因为当 $p_j=p_1$ 时就已经break了。
而对于一个积性函数 $f$ ，要求 $f(x)$ ，就必须能够快速求出以下函数值

$f(1)$
$f(p)$ ( $p$ 为素数)
$f(p^c)$ ( $p$ 为素数)
假设已经完成了上述函数值的计算，

欧拉函数

李煜东的《算法竞赛进阶指南》中讲解很详细，这里补充2条性质：
1、除了 $N=2$ ， $2|\phi(N)$ ；
2、当 $N$ 为奇数时， $\phi(2N) = \phi(N)$ 。
例题
P1390 公约数的和
 P2158 [SDOI2008]仪仗队