常见收敛级数

0.常见级数列表

https://en.wikipedia.org/wiki/Convergent_series

1.想到或者搜到的证明

1+122+132+142+152+...=π26(1)$$\begin{array}{}\text{(1)}& 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...=\frac{{\pi }^2}{6}\end{array}$$

推导证明：

sin(x)=x−x33!+x55!−x77!+...(2)$$\begin{array}{}\text{(2)}& sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\end{array}$$

同时,有：

sin(x)=x(1−x2π2)(1−x2(2π)2)(1−x2(3π)2)...(3)$$\begin{array}{}\text{(3)}& sin(x)=x(1-\frac{x^2}{{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{(2\pi {)}^2})(1-\frac{x^2}{(3\pi {)}^2})...\end{array}$$

上式满足x=kπ$x=k\pi$时，sin(x)=0$sin(x)=0$，并且x=0$x=0$时，sin′(x)=1$si{n}^{\prime }(x)=1$
两个式字中的x3$x^3$系数应该相同：

−13!=−1π2−1(2π)2−1(3π)2−...$$-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{{\pi }^2}-\frac{1}{(2\pi {)}^2}-\frac{1}{(3\pi {)}^2}-...$$

整理一下，可得:

π26=1+122+132+142+...$$\frac{{\pi }^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...$$

几何证明：
https://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls

其他：
随便取两个正整数，他们互素的概率是 6π2$\frac{6}{{\pi }^2}$，
证明:https://www.youtube.com/watch?v=LFwSIdLSosI
总结一下就是，使用图中的公式：

这个公式的证明：

还有一种证明方法：
先用几何数列的求和公式，

11−12z11−13z...=1+12z+14z+18z+...=1+13z+19z+127z+...$$\begin{array}{rl}\frac{1}{1-\frac{1}{2^z}}& =1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{8^z}+...\\ \frac{1}{1-\frac{1}{3^z}}& =1+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{9^z}+\frac{1}{{27}^z}+...\\ ...\end{array}$$

把式子乘起来，

1(1−12z)(1−13z)(1−15z)...1(1−12z)(1−13z)(1−15z)...=(1+12z+14z+18z+..)(1+13z+19z+127z+...)...=1+12z+13z+14z+15z..$$\begin{array}{rl}\frac{1}{(1-\frac{1}{2^z})(1-\frac{1}{3^z})(1-\frac{1}{5^z})...}& =(1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{8^z}+..)(1+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{9^z}+\frac{1}{{27}^z}+...)...\\ \frac{1}{(1-\frac{1}{2^z})(1-\frac{1}{3^z})(1-\frac{1}{5^z})...}& =1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{5^z}..\end{array}$$

最后一步是因为所有整数都可以写成质数的乘积。

原命题的证明：
任意选两个数，
都不能被2整除的概率(1−122)$(1-\frac{1}{2^2})$,
都不能被3整除的概率(1−132)$(1-\frac{1}{3^2})$,
都不能被5整除的概率(1−152)$(1-\frac{1}{5^2})$,
…
不能同时被任何素数整除的概率(1−122)(1−132)(1−152)...$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{5^2})...$

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https://www.youtube.com/watch?v=LFwSIdLSosI

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1+124+134+144+154+...=π490(4)$$\begin{array}{}\text{(4)}& 1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}+...=\frac{{\pi }^4}{90}\end{array}$$

推导证明：

π26π436=1+122+132+142+152+...=1+124+134+144+154+...+2[112×22+112×32+...122×32+122×42+...]$$\begin{array}{rl}\frac{{\pi }^2}{6}& =1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...\\ \frac{{\pi }^4}{36}& =1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}+...+2[\frac{1}{1^2\times 2^2}+\frac{1}{1^2\times 3^2}+...\frac{1}{2^2\times 3^2}+\frac{1}{2^2\times 4^2}+...]\end{array}$$

下面两式中x5$x^5$的系数：

sin(x)sin(x)π45!=x−x33!+x55!−x77!+...=x(1−x2π2)(1−x2(2π)2)(1−x2(3π)2)...=112×22+112×32+...122×32+122×42+...$$\begin{array}{rl}sin(x)& =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\\ sin(x)& =x(1-\frac{x^2}{{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{(2\pi {)}^2})(1-\frac{x^2}{(3\pi {)}^2})...\\ \frac{{\pi }^4}{5!}& =\frac{1}{1^2\times 2^2}+\frac{1}{1^2\times 3^2}+...\frac{1}{2^2\times 3^2}+\frac{1}{2^2\times 4^2}+...\end{array}$$

代入，

π436π436−π460π490=1+124+134+144+154+...+2π45!=1+124+134+144+154+...=1+124+134+144+154+...$$\begin{array}{rl}\frac{{\pi }^4}{36}& =1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}+...+2\frac{{\pi }^4}{5!}\\ \frac{{\pi }^4}{36}-\frac{{\pi }^4}{60}& =1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}+...\\ \frac{{\pi }^4}{90}& =1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}+...\end{array}$$

其他:
感觉用这种方法1+122n+132n+142n+152n+...$1+\frac{1}{2^{2n}}+\frac{1}{3^{2n}}+\frac{1}{4^{2n}}+\frac{1}{5^{2n}}+...$都是可以证明的

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1−13+15−17+19−...=π4(5)$$\begin{array}{}\text{(5)}& 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-...=\frac{\pi }{4}\end{array}$$

推导证明：

====1−13+15−17+19+...∫10(1−x2+x4−x6+x8−...)dx∫1011+x2dxarctan(x)|10π4$$\begin{array}{rl}& 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+...\\ =& {\int }_0^1(1-x^2+x^4-x^6+x^8-...)dx\\ =& {\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx\\ =& \arctan (x){|}_0^1\\ =& \frac{\pi }{4}\end{array}$$

几何证明：
https://www.youtube.com/watch?v=NaL_Cb42WyY

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1−12+13−14+15+...=ln(2)(6)$$\begin{array}{}\text{(6)}& 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...=\ln (2)\end{array}$$

推导证明：
f(x)=ln(x+1)$f(x)=ln(x+1)$的泰勒展开
或者

====1−12+13−14+15+...∫10(1−x+x2−x3+x4−...)dx∫1011+xdxln(1+x)|10ln(2)$$\begin{array}{rl}& 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...\\ =& {\int }_0^1(1-x+x^2-x^3+x^4-...)dx\\ =& {\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx\\ =& \ln (1+x){|}_0^1\\ =& \ln (2)\end{array}$$

几何证明：

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1+12!+13!+14!+15!+...=e(68)$$\begin{array}{}\text{(68)}& 1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...=e\end{array}$$

推导证明：
这个是最简单的，ex$e^x$泰勒展开

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然后这个，虽然并不是级数

π2=212343456567...$$\frac{\pi }{2}=\frac{2}{1}\frac{2}{3}\frac{4}{3}\frac{4}{5}\frac{6}{5}\frac{6}{7}...$$

几何证明：
https://www.youtube.com/watch?v=8GPy_UMV-08

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