进制的运算

1. 机器数与真值

• 输入数据后，以二进制的形式储存在计算机
• 二进制的表示形式为机器数
• 带有符号的对应数据称为机器数的真值
• 机器数的特点
  • 符号的数值化：规定以最高位为符号位，用0来表示正数，1表示负数
  • 计算机中只表示整数或纯小数
  • 机器数所表示的数值范围有限

2. 二进制原码、反码、补码

• 二进制中正数的原码、反码、补码表示形式相同
• 原码
  • 原码实际上是数值化的符号位加上真值的绝对值
  • 正零：[+0] =0000 0000 ，负零[-0] = 1000 0000
  • 数值范围

最小编码	[-0]	[+0]	最大编码
1111 1111	1000 0000	0000 0000	0111 1111
-127	-0	+0	127

• 反码
  • 负数的反码对其原码除符号位以外逐位取反得到
  • 正零 [+0] =0000 0000 ，负零[-0] = 1111 11111
  • 反码的反码即为原码
  • 反码仅作为补码的过度

最小编码	[-0]	[+0]	最大编码
1000 0000	1111 11111	0000 0000	0111 1111
-127	-0	+0	127

• 补码
  • 补码是计算机处理有符号数运算的常用的方法
  • 负数的反码位原码取反末位加1
  • 补码没有正负零之分，[±0] = 0000 0000 。八位二进制补码1000 0000表示 -128
  • 一个数的补码的补码就是原码本身

最小编码	-6	[0]	最大编码
1000 0000	1111010	0000 0000	0111 1111
-128	-6	0	127

3. 定点数与浮点数

二进制的运算中有整数还有小数

    1.定点数

• 定点整数：约定机器数的小数点在机器数的最右端，称定点小数
• 顶点小数：约定计算数的小数点在符号位之后，有效值部分的最高位之前，我们称为纯小数

    2. 浮点数

IEEE标准，浮点数是通过科学计数法来存储，将一个二进制数N移动小数点到左边第一个非零数之后得到纯小数M，所移动的位数用2的e次方幂表示,2的e次方*2的P次方,其中p代表不同精度的偏移量
得浮点数 N=1.M * $2^{e+P}$2e+P

• 以十进制数187.125为例
  将十进制数转换为二进制数 187.125(D)=1011 1011 . 001(B)
  将小数点移动左边第一个非零数之后得: 1.0111 0110 01 * $2 ^{ 7}$27 其中7代表小数点向左移动了七位
  加上单精度的固定偏移量127
  得浮点数 1.0111 0110 01 * $2 ^{ 134}$2134

• 187.125在计算机中的存储形式为

符号位	阶码	尾数
0	1000 0110	0111 0110 0100 0000 0000 000

• 32位单精度与64位双精度的比较

精度	符号位	阶码	尾数	偏移量	有效数字位
32	1	8	23	127	7~8
64	1	11	52	1023	15~16

4. 二进制的运算

1. 定点数的加减法运算

• 使用补码进行加减运算,将符号位也已一起参加加减运算,运算时最高位的进位省略
• 运算公式X+Y = [ [X]补 + [Y] 补 ] 补