谈谈**函数以零为中心的问题

谈谈**函数以零为中心的问题

转载：https://liam.page/2018/04/17/zero-centered-active-function

今天在讨论神经网络中的**函数时，陆同学提出 Sigmoid 函数的输出不是以零为中心的（non-zero-centered），这会导致神经网络收敛较慢。关于这一点，过去我只是将其记下，却并未理解背后的原因。此篇谈谈背后的原因。

神经元

• 图片来自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/25110450

如图是神经网络中一个典型的神经元设计，它完全仿照人类大脑中神经元之间传递数据的模式设计。大脑中，神经元通过若干树突（dendrite）的突触（synapse），接受其他神经元的轴突（axon）或树突传递来的消息，而后经过处理再由轴突输出。

在这里，诸 $x_i$xi​ 是其他神经元的轴突传来的消息，诸 $w_i$wi​ 是突触对消息的影响，诸 $w_ix_i$wi​xi​ 则是神经元树突上传递的消息。这些消息经由神经元整合后（$z(\vec{x};\vec{w},b)=\sum_iw_ix_i+b$z(x;w,b)=∑i​wi​xi​+b）再**输出（$f(z)$f(z)）。这里，整合的过程是线性加权的过程，各输入特征之间没有相互作用。**函数（active function）一般来说则是非线性的，各输入特征 $x_i$xi​ 在此处相互作用。

Sigmoid 与 tanh

此篇集中讨论**函数输出是否以零为中心的问题，因而不对**函数做过多的介绍，而只讨论 Sigmoid 与 tanh 两个**函数。

Sigmoid 函数

Sigmoid 函数的一般形式是
$\sigma(x;a)=\frac{1}{1+e^-ax}$σ(x;a)=1+e−ax1​
这里，参数 $a$a 控制 Sigmoid 函数的形状，对函数基本性质没有太大的影响。在神经网络中，一般设置 $a=1$a=1，直接省略。

Sigmoid 函数的导数很好求
$\sigma'(x)=\sigma(x)(1-\sigma(x))$σ′(x)=σ(x)(1−σ(x))

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tanh 函数

tanh 函数全称 Hyperbolic Tangent，即双曲正切函数。它的表达式是

$tanh(x)=2\sigma (2x)-1=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$tanh(x)=2σ(2x)−1=ex+e−xex−e−x​
双曲正切函数的导数也很好求
$tanh'(x)=1-tanh^2(x)$tanh′(x)=1−tanh2(x)

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一些性质

Sigmoid 和 tanh 两个函数非常相似，具有不少相同的性质。简单罗列如下

• 优点：平滑
• 优点：易于求导
• 缺点：幂运算相对耗时
• 缺点：导数值小于 ，反向传播易导致梯度消失（Gradient Vanishing）

对于 Sigmoid 函数来说，它的值域是 ，因此又有如下特点

• 优点：可以作为概率，辅助模型解释
• 缺点：输出值不以零为中心，可能导致模型收敛速度慢

此篇重点讲 Sigmoid 函数输出值不以零为中心的这一缺点。

收敛速度

这里首先需要给收敛速度做一个诠释。模型的最优解即是模型参数的最优解。通过逐轮迭代，模型参数会被更新到接近其最优解。这一过程中，迭代轮次多，则我们说模型收敛速度慢；反之，迭代轮次少，则我们说模型收敛速度快。

参数更新

深度学习一般的学习方法是反向传播。简单来说，就是通过链式法则，求解全局损失函数 $L(\vec{x})$L(x) 对某一参数 $w$w的偏导数（梯度）；而后辅以学习率$\eta$η，向梯度的反方向更新参数 $w$w。
$w\leftarrow w-\eta \cdot \frac{\partial L}{\partial w}$w←w−η⋅∂w∂L​
考虑学习率 $\eta$η 是全局设置的超参数，参数更新的核心步骤即是计算 $\frac{\partial L}{\partial w}$∂w∂L​。再考虑到对于某个神经元来说，其输入与输出的关系是
$f(\vec{x};\vec{w},b)=f(z)=f(\sum_{i}^{}w_ix_i+b)$f(x;w,b)=f(z)=f(i∑​wi​xi​+b)
因此，对于参数 $w_i$wi​来说，
$\frac{\partial L}{\partial w_i}=\frac{\partial L}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial w_i}=x_i\cdot \frac{\partial L}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial z}$∂wi​∂L​=∂f∂L​∂z∂f​∂wi​∂z​=xi​⋅∂f∂L​∂z∂f​
因此，参数的更新步骤变为
$w_i\leftarrow w_i-\eta x_i\cdot \frac{\partial L}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial z}$wi​←wi​−ηxi​⋅∂f∂L​∂z∂f​

更新方向

由于 $x_i$xi​ 是上一轮迭代的结果，此处可视为常数，而 $\eta$η 是模型超参数，参数 $w_i$wi​ 的更新方向实际上由 $x_i\cdot \frac{\partial L}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial z}$xi​⋅∂f∂L​∂z∂f​ 决定。

又考虑到 $\frac{\partial L}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial z}$∂f∂L​∂z∂f​ 对于所有的 $w_i$wi​ 来说是常数，因此各个 $w_i$wi​ 更新方向之间的差异，完全由对应的输入值 $x_i$xi​ 的符号决定。

以零为中心的影响

至此，为了描述方便，我们以二维的情况为例。亦即，神经元描述为
$f(\vec{x};\vec{w},b)=f(w_0x_0+w_1x_1+b)$f(x;w,b)=f(w0​x0​+w1​x1​+b)
现在假设，参数 $w_0$w0​ , $w_1$w1​ 的最优解 $w_0^*$w0∗​, $w_1^*$w1∗​满足条件
$\left\{\begin{matrix} w_0<w_0^*\\ w_1\geq w_1^* \end{matrix}\right.${w0​<w0∗​w1​≥w1∗​​
这也就是说，我们希望 $w_0$w0​ 适当增大，但希望 $w_1$w1​ 适当减小。考虑到上一小节提到的更新方向的问题，这就必然要求 $x_0$x0​ 和 $x_1$x1​ 符号相反。

但在 Sigmoid 函数中，输出值恒为正。这也就是说，如果上一级神经元采用 Sigmoid 函数作为**函数，那么我们无法做到 $x_0$x0​ 和 $x_1$x1​ 符号相反。此时，模型为了收敛，不得不向逆风前行的风助力帆船一样，走 Z 字形逼近最优解。

如图，模型参数走绿色箭头能够最快收敛，但由于输入值的符号总是为正，所以模型参数可能走类似红色折线的箭头。如此一来，使用 Sigmoid 函数作为**函数的神经网络，收敛速度就会慢上不少了。