大学物理复习笔记：刚体力学基础，动量矩

刚体力学基础，动量矩

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• 刚体力学基础，动量矩
• 一、刚体和刚体的基本运动
• 二、力矩，刚体绕定轴转动的微分方程
• 三、绕定轴转动刚体动能，动能定理
• 四、角动量（动量矩）

一、刚体和刚体的基本运动

1. 概念：在力的作用下，大小和方向都保持不变的物体成为刚体

2. 运动形式：

   ①平动

   刚体运动时，若在刚体内任意引一条线段，该线段始终与自身保持平行，则刚体做平动。

   运动特点：在任何时刻任一点的位移$\Delta\vec{r}$Δr,速度$\vec{v}$v，加速度$\vec{a}$a也都相同。

   ②定轴转动

   刚体内各点都绕同一直线做圆周运动，则这种运动称为刚体的转动

   （1）正负方向的确定：右手螺旋定则

   （2）角坐标：定平面和动平面的夹角则称为角坐标$\theta$θ

   

   ​ 角坐标是时间t的单值连续函数：
   $角坐标：\theta=f(t)\\ 角位移：\Delta{\theta}=\theta_2-\theta_1$角坐标：θ=f(t)角位移：Δθ=θ2​−θ1​
   ​ (2)角速度：
   $\omega=\lim\limits_{\Delta{t}\rightarrow\infty}\frac{\Delta{\theta}}{\Delta{t}}=\frac{d\theta}{dt}=f'(t)$ω=Δt→∞lim​ΔtΔθ​=dtdθ​=f′(t)
   ​ 如果刚体沿着正方向转动，那么$\omega$ω为正，反之为负

   ​ (3)角加速度
   $\omega=\lim\limits_{\Delta{t}\rightarrow\infty}\frac{\Delta{\omega}}{\Delta{t}}=\frac{d\omega}{dt}=f''(t)$ω=Δt→∞lim​ΔtΔω​=dtdω​=f′′(t)

3. 描述刚体上任意一点的运动量有两组
   $线量：\vec{r},\Delta\vec{r},\vec{v},\vec{a}\\ 角量：\theta,\Delta\theta,\omega,\beta$线量：r,Δr,v,a角量：θ,Δθ,ω,β
   (1)线量和角量的关系：

   • $s=r\theta$s=rθ
   • ${v}=r\omega$v=rω(区别刚体转动和之前的质点圆周运动的速度的求法)
   • $\vec{a}_\tau=r\beta,\vec{a}_n=r\omega^2$aτ​=rβ,an​=rω2
   • $\vec{v}=v·\vec\tau$v=v⋅τ
   • $\vec{a}=\vec{a}_\tau+\vec{a}_n$a=aτ​+an​

   (2)角速度矢量$\vec{\omega}$ω

   $\vec\omega$ω和$\vec{v}$v的关系：
   $\vec{v}=\vec{\omega}×\vec{r}\\ |\vec{v}|=\omega·r·sin\frac{π}{2}$v=ω×r∣v∣=ω⋅r⋅sin2π​

4. 刚体定轴转动问题的分类

   (1)积分法

   (2)微分法

二、力矩，刚体绕定轴转动的微分方程

1. 力矩

   （1）力是改变平动物体运动状态的原因（动量描述）（获得加速度），

   力矩是改变转动物体运动状态的原因（动量矩描述）（获得角加速度）

   （2）力矩的定义
   $\vec{M_0}(\vec{F})=\vec{r}×\vec{F}$M0​​(F)=r×F
   

   力矩的大小：$|\vec{r}||\vec{F}|sin\varphi=Fh$∣r∣∣F∣sinφ=Fh

   力矩的方向：右手螺旋定则

   注：

   • 若$\vec{F}$F不在转动平面内，要将$\vec{F}$F分解：
     $\vec{F}= \begin{cases} \vec{F_{∥}}:不产生矩\\ \vec{F_{⊥}}：产生矩\\ \end{cases}$F={F∥​​:不产生矩F⊥​​：产生矩​

   • 同一力对不同转轴，力矩不同，所以必指明是对哪个转轴的力矩

   • 在转动平面内有多个力作用于刚体时，刚体所受的总力矩等于各力对同一转轴的力矩的矢量和（代数和）
     $\vec{M}=\vec{r_1}×\vec{F_1}+\vec{r_2}×\vec{F_2}+...+\vec{r_n}×\vec{F_n}$M=r1​​×F1​​+r2​​×F2​​+...+rn​​×Fn​​

   • 合力矩指各分力的力矩之和而不是合力的力矩

   • 求摩擦力的力矩$M_f$Mf​
     $dx\rightarrow{dm}\rightarrow{df}\rightarrow{dM_f}$dx→dm→df→dMf​

2. 刚体绕定轴转动的微分方程（转动定律）

   平动中，力的瞬时作用规律：$\vec{F}=m\vec{a}$F=ma

   转动中，力矩的瞬时作用规律：$M_z=J_z\beta$Mz​=Jz​β
   $其中,\sum{m_ir_i^2=J}$其中,∑mi​ri2​=J
   转动定律：
   $M_z=J_z\beta_z$Mz​=Jz​βz​
   注意

   • $M_z,\beta$Mz​,β本是矢量，在定轴转动中，其方向只有正负
     $\beta和\omega同向，加速转动\\ \beta和\omega反向，减速转动$β和ω同向，加速转动β和ω反向，减速转动

   • 对比$\vec{F}=m\vec{a}$F=ma

     J和M地位相同，$\vec{a}$a和$\vec{\beta}$β​地位相同

3. 转动惯量

   对于质量连续分布的刚体
   $J_z=\sum{m_i·r_i^2}=\int{r^2}dm=\int\limits_Vr^2{\rho}dV$Jz​=∑mi​⋅ri2​=∫r2dm=V∫​r2ρdV
   注意：

   • J受到：质量，质量分布，转轴的位置的影响，所以J必须指明对于哪个转轴

   （1）转动惯量的计算

   ①叠加原理：刚体对一轴的$J$J等于组成刚体的各部分的$J_i$Ji​的总和
   $J_z=J_a+J_b+J_c$Jz​=Ja​+Jb​+Jc​
   ②平行轴原理：两转轴平行，一轴通过质心，另外一轴通过任意一个点o，则
   $J_{oz}=J_{Cz}+mh^2$Joz​=JCz​+mh2
   

   ③薄板的垂直轴定理：
   $J_z=J_x+J_y$Jz​=Jx​+Jy​
   ④常见的转动惯量的计算(转轴均为集合轴)

   • 匀质圆环(质量为M，半径为R)
     $dJ=dm\times{R^2}\\ 在圆环上取一小段为dl，则这一小段的质量dm=\frac{dl}{2\pi{R}}M\\ J=\int_0^{2\pi{R}}R^2dm=\int_0^{2\pi{R}}R^2\times\frac{M}{2\pi{R}}dl=MR^2$dJ=dm×R2在圆环上取一小段为dl，则这一小段的质量dm=2πRdl​MJ=∫02πR​R2dm=∫02πR​R2×2πRM​dl=MR2

   • 匀质圆盘(质量为M，半径为R)
     $dJ=dm\times{R^2}\\ 在圆盘上距离圆心为r处取一个宽度为dr的圆环，略去高阶无穷小\\ 则圆环质量：dm=\frac{\pi(r+dr)^2-\pi{r^2}}{\pi{R^2}}M=\frac{2rdr}{R^2}M\\ J=\int_0^{R}r^2dm=\int_0^{R}\frac{2r^3}{R^2}Mdr=\frac{1}{2}MR^2$dJ=dm×R2在圆盘上距离圆心为r处取一个宽度为dr的圆环，略去高阶无穷小则圆环质量：dm=πR2π(r+dr)2−πr2​M=R22rdr​MJ=∫0R​r2dm=∫0R​R22r3​Mdr=21​MR2

   • 匀质球体（质量为M，半径为R）
     $J=\frac{2}{5}MR^2$J=52​MR2

   • 均匀圆柱体（质量为M，半径为R）
     $(类似于圆盘)\\ dJ=dm\times{r^2}\\ 在圆柱上底面距离圆柱上底面的圆心为r处取一个宽度为dr的圆环，略去高阶无穷小\\ 则圆柱环质量：dm=dS\times{h}=\frac{\pi(r+dr)^2h-\pi{r^2}h}{\pi{R^2}h}M=\frac{2rdr}{R^2}M\\ J=\int_{0}^{R}r^2\times\frac{2rM}{R^2}dr=\frac{1}{2}MR^2$(类似于圆盘)dJ=dm×r2在圆柱上底面距离圆柱上底面的圆心为r处取一个宽度为dr的圆环，略去高阶无穷小则圆柱环质量：dm=dS×h=πR2hπ(r+dr)2h−πr2h​M=R22rdr​MJ=∫0R​r2×R22rM​dr=21​MR2

   • 均匀细杆（质量为M，长度为L）
     $dJ=dm\times{x^2}\\ 在细杆距离中心x处取一段微元dx，则微元质量dm=\frac{dx}{l}M\\ J=\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}x^2dm=\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}x^2\times\frac{dx}{l}M=\frac{1}{12}ML^2$dJ=dm×x2在细杆距离中心x处取一段微元dx，则微元质量dm=ldx​MJ=∫−2l​2l​​x2dm=∫−2l​2l​​x2×ldx​M=121​ML2

4. 刚体定轴转动的动力学问题

   （1）已知运动状态，求力矩
   $\theta\rightarrow\omega\rightarrow\beta\rightarrow{M},微分法$θ→ω→β→M,微分法
   （2）已知力矩，求运动状态
   $M\rightarrow\beta\rightarrow\omega\rightarrow\theta,积分法$M→β→ω→θ,积分法

5. 转动定律的应用
   $确定研究对象\begin{cases} 物体做平动：分析外力，运动状态，利用\vec{F}=m\vec{a}列方程\\ 物体做转动：分析外力矩，转动状态，利用M=J\beta列方程\\ 利用角线量关系列方程 \end{cases}$确定研究对象⎩⎪⎨⎪⎧​物体做平动：分析外力，运动状态，利用F=ma列方程物体做转动：分析外力矩，转动状态，利用M=Jβ列方程利用角线量关系列方程​

三、绕定轴转动刚体动能，动能定理

1. 绕定轴转动的刚体的动能
   $E_k=\sum{E_{ki}}=\frac{1}{2}\sum{m_i}v^2=\frac{1}{2}[\sum{m_ir_i^2}]\omega^2=\frac{1}{2}J\omega^2$Ek​=∑Eki​=21​∑mi​v2=21​[∑mi​ri2​]ω2=21​Jω2
   对比：
   $平动动能:\frac{1}{2}mv^2\\ 转动动能：\frac{1}{2}J\omega^2$平动动能:21​mv2转动动能：21​Jω2

2. 力矩的功
   $元功：dA=d{\vec{r}}\times\vec{F}=Md\theta$元功：dA=dr×F=Mdθ
   注意：

   • 力对刚体做的功，就是该力的力矩对刚体做的功

   • 内力矩成对出现，一对内力矩的功的和一定为0（对比平动，一般内力的功的和不为0）

   • M为恒力矩，则$A=M(\theta_2-\theta_1)$A=M(θ2​−θ1​)

     M为变力矩，则$A=\int_{\theta_1}^{\theta_2}Md\theta$A=∫θ1​θ2​​Mdθ

   • 力矩的瞬时功率：
     $P=\frac{dA}{dt}=\frac{Md\theta}{dt}=M\omega$P=dtdA​=dtMdθ​=Mω

3. 绕定轴转动刚体的动能定理
   $\int_{\theta_1}^{\theta_2}Md\theta=\frac{1}{2}J\omega_2^2-\frac{1}{2}J\omega_1^2\\ 合外力矩的功等于刚体转动动能的增量$∫θ1​θ2​​Mdθ=21​Jω22​−21​Jω12​合外力矩的功等于刚体转动动能的增量

4. 功能原理，机械能守恒定律

   机械能E：
   $E=E_p+E_k\\ E_k:\begin{cases} 平动部分：\frac{1}{2}mv^2\\ 转动部分：\frac{1}{2}J\omega^2\\ \end{cases}\\ E_p:弹性势能，重力势能$E=Ep​+Ek​Ek​:{平动部分：21​mv2转动部分：21​Jω2​Ep​:弹性势能，重力势能
   机械能守恒定律：
   $dA_{外}+dA_{非保守内}=0,则E守恒；\\ 即：只有保守内力做功(和合外力是否为零没有关系)$dA外​+dA非保守内​=0,则E守恒；即：只有保守内力做功(和合外力是否为零没有关系)

四、角动量（动量矩）

1. 动量矩

   质点角动量的定义：
   $\vec{L_0}=\vec{r}\times{m\vec{v}}\\ 大小：|L_0|=rPsin\varphi=rmvsin\varphi$L0​​=r×mv大小：∣L0​∣=rPsinφ=rmvsinφ
   $\vec{P}$P不能描述圆盘的运动状态，但是$\vec{L_0}$L0​​可以描述
   $L_z=\sum\limits_{k}\Delta{m}_kv_kr_k=\sum\limits_{k}\Delta{m}_kr_k^2\omega=J_z\omega$Lz​=k∑​Δmk​vk​rk​=k∑​Δmk​rk2​ω=Jz​ω

2. 质点的角动量定理
   $\frac{d\vec{L_0}}{dt}=\vec{r}\times\vec{F}=M_0\\ 运动质点对点 o 的角动量随 t 的变化率等于质点所受的外力对同一固定点的合外力矩$dtdL0​​​=r×F=M0​运动质点对点o的角动量随t的变化率等于质点所受的外力对同一固定点的合外力矩
   当$M_0=0$M0​=0时，$\vec{L_0}=J\omega$L0​​=Jω为常量，守恒

   特例：当质点在有心力下运动，$\vec{L_0}$L0​​守恒

   有心力：质点只受来自于定点的引力或斥力，则质点所受的力为有心力，定点称为力心。有心力对力心的力矩恒为零

   如，卫星绕地球转，电子的绕核运动等

3. 刚体绕定轴转动的角动量定理

   (1)动量矩定理：

   当刚体绕z轴转动时，刚体对z轴的动量矩$L_z$Lz​应为
   $L_z=J_z\omega$Lz​=Jz​ω
   两边对时间t求导：
   $\frac{dL_z}{dt}=\frac{d}{dt}(J\omega)$dtdLz​​=dtd​(Jω)
   即，
   $\frac{d}{dt}(J_z\omega)=M_z$dtd​(Jz​ω)=Mz​

   角动量定理的积分形式：
   $\int_{t_1}^{t_2}Mdt=J\omega_2-J\omega_1$∫t1​t2​​Mdt=Jω2​−Jω1​
   角动量定理的微分形式：
   $Mdt=dL=d(J\omega)$Mdt=dL=d(Jω)
   (2)角动量守恒定律

   当$M_{外}=0$M外​=0时，$J\omega$Jω为衡量

   $M_{外}=0$M外​=0的条件：

   • 力为零
   • 力通过转动轴或点,力臂为零,所以力矩为零.适用于定轴转与定点转
   • 力与转动轴平行,这个力不引起你建的轴的垂直面内的转动情况.定点转动时依然有力矩