图论——极图和托兰定理

一、$l$l部图的概念与特征

$l$l部图定义：

完全$l$l部图定义：
如果在一个$l$l部图G中，任意部$V_i$Vi​中的每个顶点同G中其它各部中的每个顶点均邻接，称G为完全$l$l部图。记作： $G=K_{n_1, n_2,\cdots, n_l}(n_i = |V_i|, 1 \le i \le l)$G=Kn1​,n2​,⋯,nl​​(ni​=∣Vi​∣,1≤i≤l)
完全$l$l等部图：
各部顶点数相同的完全$l$l部图
n阶完全$l$l几乎等部图：
各部顶点数差值不超过1，记为$T_{l,n}$Tl,n​

定理1：连通偶图的2部划分是唯一的。
定理2：n阶完全偶图 $K_{n_1,n_2}$Kn1​,n2​​的边数$m=n_1n_2$m=n1​n2​,且有：$m\le [\frac{n^2}{4}]$m≤[4n2​]
定理3：n阶l部图G有最多边数的充要条件是$G ≌ T_{l,n}$G≌Tl,n​。

二、托兰定理及其应用

定义：设G和H是两个n阶图，称G度弱于H，如果存在双射μ：V(G)→V(H),使得：$\forall v \in V(G), 有 d_G(v)\le d_H(\mu(v))$∀v∈V(G),有dG​(v)≤dH​(μ(v))则称G度弱于H，一定有$m(G)\le m(H)$m(G)≤m(H)。
定理4：若n阶简单图G不包含$K_{l+1}$Kl+1​，则G度弱于某个完全 l 部图 H，且若G具有与 H 相同的度序列，则:$G ≌H$G≌H。

托兰定理：若G是简单图，并且不包含$K_{l+1}$Kl+1​,则：$m(G) \le m(T_{l,n})$m(G)≤m(Tl,n​)，仅当$G ≌T_{l,n}$G≌Tl,n​时有$m(G)= m(T_{l,n})$m(G)=m(Tl,n​)。