机器人学名词与概念解释

机器人学名词与概念解释

张文政

2019年12月31日

文章目录

• 机器人学名词与概念解释
• 位姿描述
• 运动学
• 自由度
• 正运动学/逆运动学
• 关节空间/笛卡尔空间/驱动器空间
• DH表示
• 连杆参数
• 连杆附加坐标系
• 连杆变换矩阵
• 灵巧工作空间/可达工作空间
• 欧拉变换/RPY变换
• 重复精度/定位精度
• 奇异问题/退化问题
• 代数解法/几何解法
• 雅可比矩阵
• 由雅可比矩阵给出的奇异性
• 动力学
• 基于能量的拉格朗日函数方法
• 基于力平衡的牛顿-欧拉方程
• 方法对比
• 轨迹规划
• 路径/轨迹
• 路径规划/轨迹规划（来源于互联网）
• 点到点轨迹规划/直线轨迹规划
• 机器人控制
• 标定/初始化
• 传感器

位姿描述

位置和姿态，是三维空间中物体两个非常重要的特性。

几种对坐标系$B$B的描述方式：

1. 位置的描述用$3 \times 1$3×1的位置矢量，即位置矢量可对世界坐标系中的任何点进行定位；姿态的描述用$3 \times 3$3×3的旋转矩阵，即在物体上固定一个坐标系后给出的此坐标系相对于参考坐标系的表达。位置和姿态成对出现的组合（四个矢量）称为坐标系：$\{B\}=\{^A_BR, ^AP_{BORG}\}${B}={BA​R,APBORG​}

2. X-Y-Z固定角。首先将坐标系$\{B\}${B}和一个已知参考坐标系$\{A\}${A}重合。先将$\{B\}${B}绕$\hat{X}_A$X^A​旋转$\gamma$γ角（回转角），再绕$\hat{Y}_A$Y^A​旋转$\beta$β角（俯仰角），最后绕$\hat{Z}_A$Z^A​旋转$\alpha$α角（偏转角）。由于都是绕着一个固定的坐标系转，且顺序为XYZ，因此得名。
   $^A_BR_{XYZ}(\gamma,\beta,\alpha)=R_Z(\alpha)R_Y(\beta)R_X(\gamma)$BA​RXYZ​(γ,β,α)=RZ​(α)RY​(β)RX​(γ)

3. Z-Y-X欧拉角。首先将坐标系$\{B\}${B}和一个已知参考坐标系$\{A\}${A}重合。先将$\{B\}${B}绕$\hat{Z}_B$Z^B​旋转$\alpha$α角，再绕$\hat{Y}_B$Y^B​旋转$\beta$β角，最后绕$\hat{X}_B$X^B​旋转$\gamma$γ角。每次旋转所绕的轴的方位取决于上次的旋转，这样三个一组的旋转被称作欧拉角。旋转顺序为ZYX，因此得名。
   $^A_BR_{Z‘Y’X‘}=R_Z(\alpha)R_Y(\beta)R_X(\gamma)$BA​RZ‘Y’X‘​=RZ​(α)RY​(β)RX​(γ)

三者对比：

	不同点
旋转矩阵	是一个正交矩阵，需要9个数字来表示一个姿态，确定姿态不是很方便
X-Y-Z固定角	顺序地绕固定参考坐标系的XYZ轴旋转，只需要输入三个角度即可
Z-Y-X欧拉角	绕运动坐标系的ZYX轴旋转，只需输入三个角度即可

运动学

运动学：研究物体的运动，而不考虑引起这种运动的力。运动学中研究位置、速度、加速度和位置变量对时间或其他变量的高阶微分。

自由度

操作臂自由度数目是指具有独立位置变量的数目。对于操作臂，关节数目等于自由度数目。

当一个操作臂少于6自由度时，它在三维空间内不能达到全部位姿。

这样就引出了欠驱动机器人与冗余机器人：

系统驱动器的数目小于或大于自由度的数目，则称为欠驱动或冗余。或者指控制输入小于/大于系统自由度的机器人。

正运动学/逆运动学

正运动学：给定一组关节角的值，计算工具坐标系相对于基坐标系的位姿。即从关节空间描述到笛卡尔空间描述的操作臂位置表示。

逆运动学：给定操作臂末端执行器的位姿，计算所有可达给定位姿的关节角。即将机器人位姿从笛卡尔空间向关节空间映射。需要考虑解的存在性、多重解性（PUMA机器人到达一个确定的目标有8个解）和解的求法（数值解法，封闭解（代数法、几何法））。

关节空间/笛卡尔空间/驱动器空间

关节空间：对于一个具有$n$n个自由度的操作臂，它的所有连杆位置可由一组$n$n个关节变量加以确定，这样的一组变量常被称为$n\times1$n×1的关节矢量，所有关节矢量组成的空间称为关节空间。

笛卡尔空间：位置在空间相互正交的轴上测量，用三个变量描述空间一点的位置，用另外三个变量描述物体的姿态。有时称为任务空间或操作空间。

**驱动器空间：**机械臂由驱动器驱动，驱动器矢量组成的空间。

DH表示

用连杆参数描述机构运动关系的规则。

连杆参数

规定从操作臂的固定基座开始为连杆进行编号，称固定基座为连杆0，第一个可动连杆为连杆1，操作臂末端连杆为连杆$n$n。机器人的每个连杆都可以用四个运动学参数即连杆参数描述（$\alpha_{i-1}, a_{i-1}, d_i, \theta_{i}$αi−1​,ai−1​,di​,θi​）。其中两个用于描述连杆本身（$a,\alpha$a,α），两个用于描述连杆间的连接关系（关节变量$\theta, d$θ,d）。

连杆附加坐标系

在每个连杆上定义一个固连坐标系。固定在连杆$i$i上的固连坐标系为坐标系$\{i\}${i}。在定义好参考坐标系$\{0\}${0}后（可以任意设定），按如下步骤建立坐标系：

1. 找出关节轴，画出轴线延长线；
2. 找出关节轴$i$i和$i+1$i+1之间 的公垂线或交点，以交点或公垂线与关节轴$i$i的交点作为连杆坐标系$\{i\}${i}的原点；
3. $\hat{Z}_i$Z^i​轴沿关节轴$i$i的指向；
4. $\hat{X}_i$X^i​轴沿公垂线指向，若两轴相交，规定$\hat{X}_i$X^i​轴垂直于两轴所在平面（$X_i$Xi​垂直于$Z_iZ_{i+1}$Zi​Zi+1​）；
5. 右手定则确定$\hat{Y}_i$Y^i​的方向；
6. 当第一个关节变量为0时，规定坐标系$\{0\}${0}和$\{1\}${1}重合。对于坐标系$\{N\}${N}，原点和$\hat{X}_N$X^N​轴方向可以任取，但尽量使连杆参数为0。

在建好坐标系后，连杆参数就可这样定义（绕两个X两个z，动两个Z两个X）：

• $a_{i-1}$ai−1​：绕$\hat{X}_{i-1}$X^i−1​轴，从$\hat{Z}_{i-1}$Z^i−1​移动到$\hat{Z}_i$Z^i​的距离；
• $\alpha_{i-1}$αi−1​：绕$\hat{X}_{i-1}$X^i−1​轴，从$\hat{Z}_{i-1}$Z^i−1​旋转到$\hat{Z}_i$Z^i​的角度（右手定则）；
• $d_i$di​：绕$\hat{Z}_i$Z^i​轴，从$\hat{X}_{i-1}$X^i−1​移动到$\hat{X}_i$X^i​的距离；
• $\theta_i$θi​：绕$\hat{Z}_i$Z^i​轴，从$\hat{X}_{i-1}$X^i−1​旋转到$\hat{X}_i$X^i​的角度（右手定则）。

连杆变换矩阵

最终目标：求出连杆$n$n相对于连杆$0$0的位姿，$^{0}_{N}T$N0​T；

第一步分解：$^{0}_{N}T=^{0}_{1}T^{1}_{2}T^{2}_{3}T\cdots^{N-1}_{N}T$N0​T=10​T21​T32​T⋯NN−1​T，相邻连杆间的坐标系变换，$\{i\}${i}相对于坐标系$\{i-1\}${i−1}的变换$^{i-1}_{i}T$ii−1​T；

第二步分解：引入三个中间坐标系$\{P\},\{Q\},\{R\}${P},{Q},{R}分解成四个变换，$^{i-1}_{R}T,^{R}_{Q}T,^{Q}_{P}T,^{P}_{i}T$Ri−1​T,QR​T,PQ​T,iP​T，每个变换都是仅有一个连杆参数的函数。使用平移算子$D_{Q}(\cdot)$DQ​(⋅)和旋转算子$R_{K}(\cdot)$RK​(⋅)的定义方式，可得如下形式（其实也就是上一节确定四个连杆参数的方法对应到数学表达式，按$\alpha,a,\theta,d$α,a,θ,d的顺序）：
$^{i-1}_{i}T=R_X(\alpha_{i-1})D_X(a_{i-1})R_{Z}(\theta_i)D_Z(d_i)$ii−1​T=RX​(αi−1​)DX​(ai−1​)RZ​(θi​)DZ​(di​)

灵巧工作空间/可达工作空间

工作空间是指操作臂末端执行器（而非DH表示中最后关节坐标系的原点）所能到达的范围。决定了逆运动学解的存在性。

灵巧工作空间指末端执行器能够从各个方向到达的空间区域；灵巧系数=可达角度所占弧长/单位圆周长

可达工作空间是至少从一个方向上有一个方位可以到达的空间。显然，灵巧工作空间是可达工作空间的子集。

欧拉变换/RPY变换

基于绕腕坐标系确定腕的方位，从而可以确定机械手的方位。工业机器人中经常使用两种旋转角组合：

• **欧拉变换：**欧拉角合成的齐次变换；
• **RPY变换：**滚动（roll）、俯仰（pitch）、侧偏角（yaw）合成的齐次变换。

重复精度/定位精度

**示教点：**操作臂运动实际到达的点，然后关节位置传感器读取关节角并存储；

计算点：对于可将目标位置描述为笛卡尔坐标系的系统，它可以将操作臂移动到工作空间中一个从未示教过的点，这种点叫计算点；

重复精度：关节空间中回到示教点，末端执行器在笛卡尔空间的精度；

定位精度：在笛卡尔空间内达到计算点的精度。

奇异问题/退化问题

当进行逆变换的计算时要做除法，而当分母趋于零时便会出现奇异现象。

• 工作空间边界的奇异位形：出现在操作臂完全展开或收回使得末端执行器处于或接近工作空间边界的情况；
• 工作空间内部的奇异位形：出现在远离工作空间边界，通常由于两个或两个以上的关节轴共线引起。

在求逆问题时可能出现多解现象，即同一操作机位姿对应于多于一组的关节变量的解存在，则手臂处于退化状态。显然这种不确定性的问题很容易解决。

代数解法/几何解法

代数解法：

1. 列出DH参数表，用连杆变换矩阵求出机械臂运动学方程$^{0}_{N}T$N0​T；
2. 根据机械臂的限制（例如平面机器人通过确定$x,y,\phi$x,y,ϕ）即可确定操作臂子空间；
3. 用运动学方程描述的可达点必须在操作臂子空间内，列等式求解方程；

雅可比矩阵

定义了从关节空间速度（关节角速度$\dot{\Theta}$Θ˙）向笛卡尔空间速度（一般研究末端执行器的线速度和角速度$\dot{x}=\left[\begin{array}{l} {v_{n}} \\ {\omega_{n}} \end{array}\right]$x˙=[vn​ωn​​]）的映射。雅可比矩阵实质上是一种时变的线性变换关系。

雅可比矩阵本身是多元形式的导数，是一个矢量对另一个矢量求导的结果。对于$m \times n$m×n维空间的机器人（$m$m是空间的维数，$n$n是关节个数），雅可比矩阵为（当然，我们往往定义方阵形式的雅可比矩阵（分子布局），阶为关节个数）：
$J(\Theta)=\left[\begin{array}{cccc} {\frac{\partial f_{1}}{\partial \theta_{1}}} & {\frac{\partial f_{1}}{\partial \theta_{2}}} & {\cdots} & {\frac{\partial f_{1}}{\partial \theta_{n}}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\cdots} & {\vdots} \\ {\frac{\partial f_{m}}{\partial \theta_{1}}} & {\frac{\partial f_{m}}{\partial \theta_{2}}} & {\cdots} & {\frac{\partial f_{m}}{\partial \theta_{n}}} \end{array}\right]$J(Θ)=⎣⎢⎡​∂θ1​∂f1​​⋮∂θ1​∂fm​​​∂θ2​∂f1​​⋮∂θ2​∂fm​​​⋯⋯⋯​∂θn​∂f1​​⋮∂θn​∂fm​​​⎦⎥⎤​

$\dot{x}=J(\Theta) \dot{\Theta}$x˙=J(Θ)Θ˙

由雅可比矩阵给出的奇异性

如果雅可比矩阵可逆，则给定末端执行器速度，就可以求出相应的关节速度：
$\dot{\Theta}=J^{-1}(\Theta) \dot{x}$Θ˙=J−1(Θ)x˙
但雅可比矩阵并非对所有的$\Theta$Θ都可逆，奇异时，末端执行器位置称之为机械臂的奇异点。

机械臂位于奇异状态时，它在直角坐标空间的自由度就会减少。

动力学

动力学研究操作臂的运动和使之运动而施加的力和力矩之间的关系。操作臂动力学关注于两个问题：

1. 已知一个轨迹点（robot motion）$\Theta, \dot\Theta,\ddot\Theta$Θ,Θ˙,Θ¨，求期望的关节力矩矢量$\tau$τ。对控制很有用；
2. 计算在施加一组关节力矩的情况下操作臂如何运动，即1的反过程。对仿真很有用。

基于能量的拉格朗日函数方法

操作臂的拉格朗日函数表示为：
$\mathcal{L}(\Theta,\dot\Theta)=k(\Theta,\dot\Theta)-u(\Theta)$L(Θ,Θ˙)=k(Θ,Θ˙)−u(Θ)
其中$k(\Theta,\dot\Theta)$k(Θ,Θ˙)表示系统的总动能，是关节位置和速度的标量函数；$u(\Theta)$u(Θ)是系统的总势能，是关节位置的标量函数。注意动能是系统的总动能，包括线速度与角速度；势能则包括重力势能和弹性势能。

因此拉格朗日-欧拉方程表示为：
$\frac{d}{d t}\left[\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot\Theta}\right]-\frac{\partial \mathcal L}{\partial \Theta}=\tau$dtd​[∂Θ˙∂L​]−∂Θ∂L​=τ

基于力平衡的牛顿-欧拉方程

两者都是描述了力、惯量和加速度之间的关系。

• 牛顿方程：面向平动，力平衡，$F=m \dot{v}$F=mv˙
• 欧拉方程：面向转动，力矩平衡，$J_{c} \dot{\omega}+\omega \times\left(J_{c} \omega\right)=\tau$Jc​ω˙+ω×(Jc​ω)=τ

方法对比

• 拉格朗日欧拉方程：可以写成结构完美的形式，但如果不加以简化，则因计算困难而很难用于实际控制；
• 牛顿欧拉方程：给出了一组效率很高的递归方程，但很难用于推导出高级控制规律；
• G-D运动方程：结构较好，计算速度高于拉格朗日，并且能把杆件平移和转动的效应明显的表示出来，有利于操作机的设计。

轨迹规划

路径/轨迹

路径是轨迹的空间几何形状。

• **路径：**机器人位形的一个特定序列，不考虑时间因素；
• **轨迹：**末端执行器在参考坐标系空间由初始点运动到终止点产生的空间曲线。与何时到达路径中的每个点有关，依赖速度和加速度，强调时间性。

路径规划/轨迹规划（来源于互联网）

两者都是运动规划。都是根据给定的任务起点（有时也包括中间点）对机器人建立运动方程，使其满足特定约束，并求解得到函数表达式或者数值点序列。

路径规划是找到一系列要经过的路径点，路径点是空间中的位置或关节角度，而轨迹规划是赋予路径时间信息。

路径规划的目标是使路径与障碍物的距离尽量远同时路径的长度尽量短；

轨迹规划的目的主要是机器人关节空间移动中使得机器人的运行时间尽可能短，或者能量尽可能小。

轨迹规划在路径规划的基础上加入时间序列信息，对机器人执行任务时的速度与加速度进行规划，以满足光滑性和速度可控性等要求。

点到点轨迹规划/直线轨迹规划

点到点的轨迹规划算法可以理解为在规定的时间$T$T内，从已知关节空间起始点运动到末尾点的方法。

直线轨迹规划指让工具在相隔较远的中间点之间走直线。

机器人控制

标定/初始化

机器人初始化：找到自身当前的位置；

标定：找自身与作用环境之间的位置关系。

传感器

灵敏度评估的对象是传感器的输出和输入之间的关系。

分辨率是指传感器可感受到的被测量的最小变化的能力。描述刻度划分。

精度用来评估传感器测量系统测量精度。