类欧几里得小记

前言

每次看了很快就忘了，干脆写一篇博客，来加深记忆。

定义

设

f(a,b,c,n)=∑i=0n⌊ai+bc⌋

g(a,b,c,n)=∑i=0ni⌊ai+bc⌋

g(a,b,c,n)=∑i=0n⌊ai+bc⌋2

m=⌊an+bc⌋

一、f(a,b,c,n)

当a>=c时，=f(a%c,b,c,n)+⌊ac⌋∗n(n+1)/2
当b>=c时，=f(a,b%c,c,n)+⌊bc⌋∗(n+1)
然后

=∑i=0n⌊ai+bc⌋

我们将ai+bc当作一条以i为自变量的直线，

于是原式就等于这个直角梯形内的整点个数，

=∑i=0n∑j=1m[⌊ai+bc⌋>=j]

=∑i=0n∑j=0m−1[⌊ai+bc⌋>=j+1]

=∑i=0n∑j=0m−1[ai+b>=jc+c]

=∑i=0n∑j=0m−1[ai+b>jc+c−1]

=∑i=0n∑j=0m−1[ai>jc+c−b−1]

=∑i=0n∑j=0m−1[i>⌊jc+c−b−1a⌋]

=∑j=0m−1∑i=0n[i>⌊jc+c−b−1a⌋]

=∑j=0m−1(n−∑i=0n[i<=⌊jc+c−b−1a⌋])

=nm−f(c,c−b−1,a,m−1)

时间复杂度类似与扩展欧几里得。

二、g(a,b,c,n)

//坑