梯度的几何含义

发现Wikipedia上用来说明梯度的图片特别典型，说明非常形象，所以引来供大家学习。
设函数 $f(x, y) = -(cos2x + cos 2 y )^2$f(x,y)=−(cos2x+cos2y)2，则 $\nabla f$∇f 可以描述为在底部平面上的矢量投影，如下图所示。

根据图片所示，每个点的梯度是一个矢量，其长度代表了这点的变化速度，而方向表示了其变化速率最快的方向。所以通过这张图，我们可以很清楚地看到。在矢量长的地方，$f$f 的变化就明显，而其方向代表了增长最快的方向。

结合方向导数，我们可以很容易理解梯度其实就是指明函数在指定点的变量率最快的方向和大小。