【读书笔记】组合计数中的行列式方法

upd 2020-07-21 增加了Routings: the Lindstrm–Gessel–Viennot lemma章节
upd 2020-07-14 17:36 增加了完美匹配的部分，已经快看不懂了，枯了????
upd 2020-07-14 增加了欧拉路径和BEST theorem 章节
做笔记，不然学了忘

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文章目录

• 预备知识
• 一些结论
• 应用
• Example1 项链染色
• Example2 Words with forbidden subwords,1
• Example3 Words with forbidden subwords,2
• Example4 Monomer-dimer problem
• 应用续1-生成树
• 基尔霍夫矩阵树定理
• 矩阵树定理的应用-一些典型图的生成树数目
• 塔特有向矩阵树定理
• 应用续2-欧拉回路，the BEST theorem
• 一些定义
• 一个有向图是欧拉的充要条件
• BEST定理
• BSET定理推论
• k-ary de Bruijn sequence定义
• BSET theorem在k-ary de Bruijn sequences of order n计数 中的应用
• 彩蛋-超排列
• 应用续3-Perfect matchings: the Pfaffian method
• 一些定义
• 用2×1的砖密铺a×b的大矩形的方法数
• 应用续4-Routings: the Lindstrm–Gessel–Viennot lemma
• 一些定义
• the Lindstrm–Gessel–Viennot lemma
• Lindstrm–Gessel–Viennot lemma 应用
• Example1 Binomial determinants
• Example2 Counting permutations by descent set
• 计算行列式
• 附录

把计数问题转化为计算矩阵行列式

预备知识

adjacency matrix 中文是不是邻接矩阵？

有向图 The adjacency matrix $A = A(G)$A=A(G) is the$V×V$V×V matrix whose entries are

$a_{uv}$auv​= number of edges from u to v.

无向图 The (undirected) adjacency matrix $A = A(G)$A=A(G) is the $V ×V$V×V matrix whose entries are

$a_{uv}$auv​ = number of edges connecting u and v.

一些结论

不解释，邻接矩阵定义和矩阵乘法定义

算矩阵幂$A^n$An ，如果$A$A可对角化是容易计算的

嗯其实也有办法，我找到了《矩阵分析与应用》(第2版)7.3.3矩阵幂的计算，我放在末尾附录了

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第一个等号是等比数列的求和，第二个等号是克拉姆法则

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不解释

$x$x我楞了一下，应该是$1×1$1×1的

$det(A-xI)=(x-\lambda_1)...(x-\lambda_k)$det(A−xI)=(x−λ1​)...(x−λk​)

证明那里$Q(x)=(1-\lambda_1x)...(1-\lambda_kx)$Q(x)=(1−λ1​x)...(1−λk​x)我楞了一下，你把A对角形式带进去就比较容易理解了

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$u,v$u,v和$i,j$i,j记号混用，意思是那么个意思

联系了前面的Corollary 1.4.2

应用

Example1 项链染色

$n$n个珠子围成一圈，给你$k$k种颜色来染色,要求相邻颜色不同，求方案数目$f(n,k)$f(n,k)。(旋转和翻转视为不同的方案)

把$k$k种颜色想成$k$k个节点，完全图$K_k$Kk​ ，邻接矩阵是$A=J-I$A=J−I ，$J$J是全1矩阵

$A$A的$k$k个特征值是$-1,--1,...,-1,k-1$−1,−−1,...,−1,k−1

答案就是此图中长度为$n$n的closed walk的数目

利用前面的Corollary 1.4.3

答案是$(k-1)^n+(k-1)(-1)^n$(k−1)n+(k−1)(−1)n

Example2 Words with forbidden subwords,1

给定一长$n$n的字符串，只由{a,b}组成，且不会有子串aa(子串是连续的)。问你方案数目$f_n$fn​。

说实话这个递推方程都能直接写，$f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_{1}=2,f_{2}=3$fn​=fn−1​+fn−2​,f1​=2,f2​=3

建图就是节点a和节点b，边a→b,b→a,b→b

$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$A=(01​11​)
$A^n=\begin{pmatrix} Fibonacci[n-1] & Fibonacci[n] \\ Fibonacci[n] & Fibonacci[n+1] \end{pmatrix}$An=(Fibonacci[n−1]Fibonacci[n]​Fibonacci[n]Fibonacci[n+1]​)

$f_n$fn​是$A^{n-1}$An−1的元素和，是Fibonacci[n+2]

Example3 Words with forbidden subwords,2

给定一长$n$n的cyclic word，只由{a,b}组成，且不会有子串aa，abba(子串是连续的)。问你方案数目$g_n$gn​。

不会，吃了没文化的亏，看不懂cyclic word是啥

我认为是好比babbb，然后它就是你的重复单元

。。。babbb|babbb|babbb|babbb。。。里找子串

这样就解释通了

Example4 Monomer-dimer problem

给你1×1和1×2的砖都是无数个，问你无重叠填充$m×n$m×n大矩形的方案数目

这里介绍简单的情形，$m=3,n=5$m=3,n=5

强制加上顺序，一列一列的铺，共有6条竖线

每次从上往下数，突出计0，不突出计1

一种方案的图解如下，

111–110–>011–>101–>010–>111.​

这正好对应图$G$G从111到111的长为$5$5路径

要求的答案就是111到111的长度为6的路径数

图$G$G到底长什么样呢？规律不是很明显

比如：

000到000肯定是0条边，

111到111有3种铺法（2+1，1+2，1+1+1），111到111有3条边

101到111有1条

110到111有2条(1+1,2)

图G长这样

接着图的邻接矩阵写出来就可以上手算啦

应用续1-生成树

这里研究的第一个问题就是图的生成树计数问题 (节点带序，1-2-3和1-3-2不同)

记号说明

A principal cofactor $L_v(G)$Lv​(G) is obtained from $L(G)$L(G) by removing the $v$vth row and $v$vth column for some vertex v.

基尔霍夫矩阵树定理

证明我看不懂

矩阵树定理的应用-一些典型图的生成树数目

给一个完全图的生成树数目的证明:

塔特有向矩阵树定理

有向矩阵树定理证明

应用续2-欧拉回路，the BEST theorem

一些定义

1. An Eulerian path is a path in the graph that visits every edge exactly once.
2. If the path starts and ends at the same vertex,then it is called an Eulerian cycle.
3. We say $G$G is an Eulerian graph if it has an Eulerian cycle.

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一个有向图是欧拉的充要条件

Theorem 1.4.8 A directed graph is Eulerian if and only if it is connected and every vertex $v$v satisfies $indeg(v) = outdeg(v)$indeg(v)=outdeg(v).

定理1.4.8 一个有向图而言，它是欧拉的当且仅当对所有节点出度等于入度。

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BEST定理

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BSET定理推论

在欧拉有向图中，每个节点的有向生成树数目都是相等的。

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k-ary de Bruijn sequence定义

A k-ary de Bruijn sequence of order n

定义为一个cyclic word，长度是$k^n$kn,用的字母表是{0,1,…,k-1},

它的每一个subword正好遍历【长度为$n$n,用字母表为{0,1,…,k-1}组成的$k^n$kn个序列】(每个出现一次)

举个例子，我从维基百科截的图：

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BSET theorem在k-ary de Bruijn sequences of order n计数 中的应用

建图呗。下面这也是维基截的图。

比如你想求解2-ary de Bruijn sequences of order 3的数目，每个节点的序列长度是3，

数哈密顿路径。（收集的序列就是点上的序列）

或者，你想求解2-ary de Bruijn sequences of order 4的数目，每个节点的序列长度是3，

数欧拉环。 （收集的序列就是【边和边的发出点】构成的序列）

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下面定理证明中用到的是把长度为n-1的序列作为点，找到欧拉环。

彩蛋-超排列

中科院物理所公众号的一篇推送

Wikipedia Superpermutation

应用续3-Perfect matchings: the Pfaffian method

一些定义

1. 一个图$G$G的完美匹配$M$M是说一系列边，使得$G$G的每一个点都在且仅在$M$M的一条边上。或者你从字面理解：$2m$2m个点正好分成$m$m组，每组2个，…

2. skew-symmetric matrix $A^T=-A$AT=−A (就是说关于主对角线对称的元素是相反数，$a_{ij}=-a_{ji}$aij​=−aji​)

3. Pfaffian的定义。emm这里书讲得不清楚，直接截图维基。

   Pfaffian是对满足$A^T=-A$AT=−A的矩阵$A$A定义的。

   

4. 定理 $det(A)=Pfaffian(A)^2$det(A)=Pfaffian(A)2 证明看不懂

5. 有向图的邻接矩阵 当然有$[S(G)]^{T}=-S(G)$[S(G)]T=−S(G)

   

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用2×1的砖密铺a×b的大矩形的方法数

假设了$b$b是偶数是因为：都是奇数肯定密铺不了

这里不写了 ┏(゜ロ゜;)┛

应用续4-Routings: the Lindstrm–Gessel–Viennot lemma

一些定义

• DAG 有向无环图
• $\mathrm{wt}(e)$wt(e) 边的权重
• $\mathrm{wt}(P)=\prod \mathrm {wt}(e)$wt(P)=∏wt(e) 路径的权重
• $\mathrm{wt}(R)=\prod _{i=1}^n \mathrm {wt}(P)$wt(R)=∏i=1n​wt(P) routing的权重
• 源，汇 Let S ={s1,…,sn} and T ={t1,…,tn} be two (not necessarily disjoint) sets of vertices,which we call sources and sinks,respectively
• Routing定义 A routing from S to T is a set of paths P1,…, Pn from the n sources s1,…,sn to the n sinks t1,…,tn such that no two paths share a vertex.
• Let π be the permutation of [n] such that $P_i$Pi​ starts at source $s_i$si​ and ends at sink $t_{π(i)}$tπ(i)​, and define sign® = sign(π).
• path matrix Q定义 $q_{ij}=\sum\limits_{P\ path from\ s_i to\ t_j }\mathrm{wt}(P)$qij​=P pathfrom si​to tj​∑​wt(P) 考虑Q的元素时只是看$s_i$si​到$t_j$tj​的所有路径

原文如下

the Lindstrm–Gessel–Viennot lemma

维基百科词条-Lindstrm–Gessel–Viennot lemma

式子右边的求和是对$S$S到$T$T的所有routings

【In particular】那里是说，

如果正好图还有这样的性质：每条边权都是1，而且$S$S到$T$T的所有routing都是1->1,2->2…这样的形式，那么$detQ=number \ of \ routings\ from\ S\ to \ T$detQ=number of routings from S to T

Lindstrm–Gessel–Viennot lemma 应用

Example1 Binomial determinants

$\begin{gathered} \begin{pmatrix} a_1,...,a_n \\ b_1,...,b_n \end{pmatrix} \end{gathered}$(a1​,...,an​b1​,...,bn​​)​记号表示的是那个行列式

…开始我还看不懂为什么there are $\begin{gathered} \begin{pmatrix} a_i \\ b_j \end{pmatrix} \end{gathered}$(ai​bj​​)​ SE paths from $A_i$Ai​ to $B_j$Bj​

SE path 是说south 和 east ，我以为是往东往北了

since every SE routing from A to B takes Ai to Bi for all i, 这是因为0≤a1 <···<an and 0≤b1 <···<bn ; points A ={A1,…,An} and B ={B1,…,Bn} where Ai = (0,ai) and Bi = (bi,bi) for1≤i≤n 然后你还要要走SE path

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Example2 Counting permutations by descent set

先定义一个n排列的decent set是说一个集合$S$S，集合$S$S的元素是所有的index i使得$\pi_i>\pi_{i+1}$πi​>πi+1​

然后问你 number of permutations of [n] with descent set$\{c_1,...,c_k\}${c1​,...,ck​}

可以构造一个A到B的SE routings构成bijeciton，答案是$\begin{gathered} \begin{pmatrix} c_1,...c_k,n \\ 0,c_1,...,c_k \end{pmatrix} \end{gathered}$(c1​,...ck​,n0,c1​,...,ck​​)​(前面的行列式记号)

计算行列式

这里方法太多了哈，方法不要太多

Of course, when we wish to evaluate a new determinant, one first step is to check whether it is a special case of some known determinantal evaluation

确实确实，能找到现成的或者是现成的特例情形绝不自己动手

附录

利用Cayley-Hamilton定理变形一下，

先求特征值，再解$n$n个线性方程构成的方程组

算法和例子如下，如果矩阵阶数$n$n也很大的话就。。。。

书用的是Handbook of enumerative combinatorics

资料来自网络