Kolmogorov-Smirnov检验 |
一个例子
假设你拿到下面的这100个观察值：
| -0.16 | -0.68 | -0.32 | -0.85 | 0.89 | -2.28 | 0.63 | 0.41 | 0.15 | 0.74 |
| 1.30 | -0.13 | 0.80 | -0.75 | 0.28 | -1.00 | 0.14 | -1.38 | -0.04 | -0.25 |
| -0.17 | 1.29 | 0.47 | -1.23 | 0.21 | -0.04 | 0.07 | -0.08 | 0.32 | -0.17 |
| 0.13 | -1.94 | 0.78 | 0.19 | -0.12 | -0.19 | 0.76 | -1.48 | -0.01 | 0.20 |
| -1.97 | -0.37 | 3.08 | -0.40 | 0.80 | 0.01 | 1.32 | -0.47 | 2.29 | -0.26 |
| -1.52 | -0.06 | -1.02 | 1.06 | 0.60 | 1.15 | 1.92 | -0.06 | -0.19 | 0.67 |
| 0.29 | 0.58 | 0.02 | 2.18 | -0.04 | -0.13 | -0.79 | -1.28 | -1.41 | -0.23 |
| 0.65 | -0.26 | -0.17 | -1.53 | -1.69 | -1.60 | 0.09 | -1.11 | 0.30 | 0.71 |
| -0.88 | -0.03 | 0.56 | -3.68 | 2.40 | 0.62 | 0.52 | -1.25 | 0.85 | -0.09 |
| -0.23 | -1.16 | 0.22 | -1.68 | 0.50 | -0.35 | -0.35 | -0.33 | -0.24 | 0.25 |
想知道这些数据是否符合N(01)分布？
Kolmogorov-Smirnov
假设我们观察到数据,
,...,
,我们认为这些数据来自分布为p的数据集。
Kolmogorov-Smirnov检验的方法如下：
: 数据来自分布为p的数据集
否则：
: 数据并非来自分布为p的数据集
累积分布函数与经验分布函数
随机变量的累计分布函数(CDF)
的定义大家都知道：
累积分布函数唯一地刻画了概率分布。
给定一个观察数列,...,
，经验分布函数
就是那些值不大于
的概率：
如果将观察值排序，那么:
我们要比较数据的经验分布函数与零假设(什么是零假设，参考 零假设 )相关的累积分布函数
(所希望的CDF)。
Kolmogorov-Smirnov统计是：
实用方法
上面例子中的数据排序后，如下表所示：
然后计算经验分布函数：
，
，....，
如果数据已排序，是最小值，
是最大值，那么在这个例子里就有：
在这里，我们假设期望的分布函数是标准正态的，所以使用正态表。下表就是标准分布的已排序的数据表：
对于每一个观察值计算
。
计算两个表中各项之间的绝对差值。
Kolmogorov Smirnov统计＝0.092是(蓝色显示)最大值。
Kolmogorov Smirnov统计
我们计算了预期和观测分布函数之间的最大绝对距离，下图用绿色线条表示。
临界值
在95%级别下，临界值近似：
在这个例子中，由于n=100，因此。
由于0.092<0.136，因此我们接受零假设。
两个样本的Kolmogorow-Smirnov
给定两个样本，测试它们的分布是否相同。计算观测到的两个样本的累积分布函数，并计算它们的最大差值。
X : 1:2; 1:4; 1:9; 3:7; 4:4; 4:8; 9:7; 17:3; 21:1; 28:4
Y : 5:6; 6:5; 6:6; 6:9; 9:2; 10:4; 10:6; 19:3
我们对组合样本进行排序，以计算经验CDF：
Kolmogorov Smirnov统计又是两个观测分布函数的最大绝对差。在这里:
对于两个样本，95%临界值可以用公式来近似：
在我们的例子里，，
，因此
。
因此我们接受零假设。