复变函数1.1：复数及其几何表示

第一章$\quad$复数及复平面

一、复数及其几何表示

1. 复数域

• 基本定义
  复数 $z=x+iy$z=x+iy, 其中 $x,y\in {\bf R}$x,y∈R, $i$i是虚数单位(也可记作$\sqrt{-1}$−1​);
  $x$x 是实部, 记作 $x={\rm Re} \ z$x=Re z;
  $y$y 是虚部, 记作 $y={\rm Im} \ z$y=Im z;
  若 ${\rm Im} \ z=0$Im z=0, 则称$z$z为实数，记作$z={\rm Re} \ z$z=Re z;
  若 ${\rm Re} \ z\neq0$Re z​=0, 则称$z$z为虚数;
  若 ${\rm Re} \ z=0$Re z=0, 则称z为纯虚数，记作$z = i\ {\rm Im}\ z$z=i Im z

• 全体复数所成的集记作${\bf C}$C, ${\bf R}$R是${\bf C}$C的一个子集.

• 对复数域引进加、减、乘、除，形成在集$\bf C$C上的一个代数结构, 使其成为复数域$\bf C$C

2. 复平面

• 点表示
  作映射 ${\bf C} \rightarrow {\bf R^2}:z=x+iy\mapsto (x,y) \in {\bf R^2}$C→R2:z=x+iy↦(x,y)∈R2, 即一个复数对应一个点，形成双射

• 向量表示

  • 复平面$\mathbf{C}$C上一切向量记作所组成的集记作$V$V.
  • 等价类：一向量经过平行移动(把平行移动记作“关系$P$P”)而的的所有向量，与原向量构成一个等价类.
  • 商集：集$V$V对于关系$P$P的所有等价类构成构成一个新集，称为$V$V关于$P$P的商集, 记作$V/P$V/P.
  • 综上，一个复数可以由一个向量或它的等价类中任一向量来表示

• 模和辐角

  • 模：向量$z$z的长度，记作$|z|$∣z∣, 显然$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$∣z∣=x2+y2​
  • 辐角：实轴的正向量与向量$z$z之间的夹角(这里假定$z\neq 0$z​=0),记作$\theta$θ,显然$\theta$θ有无穷多个值，记作${\rm Arg}\ z=\theta +2k\pi$Arg z=θ+2kπ或${\rm Arg}\ z=\theta+2\pi{\bf Z}$Arg z=θ+2πZ其中${\bf Z}=\{0,\pm 1,\pm 2,\cdots\}$Z={0,±1,±2,⋯}, ${\rm Arg}\ z$Arg z中只有一个值满足$-\pi<\alpha \le \pi$−π<α≤π, 它叫做$z$z的辐角的主值，记作${\rm arg}\ z$arg z.
  • 实部与虚部的模和辐角表示${\rm Re}\ z=|z|\cos{{\rm Arg}\ z}, {\rm Im}\ z =|z|\sin{{\rm Arg}\ z}$Re z=∣z∣cosArg z,Im z=∣z∣sinArg z 于是$z$z本身可表示为$z=|z|(\cos{\rm Arg}\ z+i\sin{\rm Arg}\ z)$z=∣z∣(cosArg z+isinArg z)该式子为$z$z的三角表达式

• 共轭：实部相同, 虚部相反. 其中一个用$z$z表示，则另一个用$\bar z$zˉ表示, 显然$z$z与$\bar z$zˉ关于实轴对称. 且
  $|z|=|\bar z|, {\rm Arg}\ z = -{\rm Arg}\ \bar{z}$∣z∣=∣zˉ∣,Arg z=−Arg zˉ

• 相关不等式
  $||z_1|-|z_2||\le |z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$∣∣z1​∣−∣z2​∣∣≤∣z1​+z2​∣≤∣z1​∣+∣z2​∣ $||z_1|-|z_2||\le |z_1-z_2|\le |z_1|+|z_2|$∣∣z1​∣−∣z2​∣∣≤∣z1​−z2​∣≤∣z1​∣+∣z2​∣ $|{\rm Re}\ z| \le |z|, |{\rm Im}\ z|\le |z|$∣Re z∣≤∣z∣,∣Im z∣≤∣z∣ $|z|=\sqrt{z\bar{z}}$∣z∣=zzˉ​

3. 复球面及无穷大

即复数在球面上的几何表示.

• 在点坐标是$(x,y,u)$(x,y,u)的三维空间中，把$xOy$xOy平面看作$z=x+iy$z=x+iy平面. 考虑球面$S$S $x^2+y^2+z^2=1$x2+y2+z2=1 取定球面上一点$N(0,0,1)$N(0,0,1), 称为球极.

• 作连接$N$N与$xOy$xOy平面上任一点$A(x,y,0)$A(x,y,0)的直线, 并且设这直线与球面的交点是$A'(x',y',u')$A′(x′,y′,u′).

• 那么称$A'$A′为$A$A在球面上的球极射影.

• $(x,y,0),(x',y',u'),(0,0,1)$(x,y,0),(x′,y′,u′),(0,0,1)共线$\Rightarrow x:y:-1=x':y':u'-1 \Rightarrow$⇒x:y:−1=x′:y′:u′−1⇒ $z=x+iy=\frac{x'+iy'}{1-u'}$z=x+iy=1−u′x′+iy′​

• $|z|^2=z\bar{z}=\frac{(x')^2+(y')^2}{(1-u')^2}=\frac{1-(u')^2}{(1-u')^2}=1+\frac{1+u'}{1-u'}\Rightarrow$∣z∣2=zzˉ=(1−u′)2(x′)2+(y′)2​=(1−u′)21−(u′)2​=1+1−u′1+u′​⇒ $x'=\frac{z+\bar{z}}{|z|^2+1}, y'=\frac{z-\bar{z}}{i(|z|^2+1)},u'=\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}$x′=∣z∣2+1z+zˉ​,y′=i(∣z∣2+1)z−zˉ​,u′=∣z∣2+1∣z∣2−1​

• 综上，在复平面$\bf C$C与$S-\{N\}$S−{N}之间建立了一个双射. 我们约定复平面上有一个理想的点，称为无穷远点，其球极射影为$N$N; 无穷远点及$N$N可以看作一个新引进的非正常复数无穷大(即$\infty$∞)在平面及球面上的几何表示.

• 集${\bf C}\cup \{ \infty \}$C∪{∞}称为扩充复数集${\bf C}_\infty$C∞​

• 复平面${\bf C}\cup \{ \infty \}$C∪{∞}称为扩充复平面${\bf C}_\infty$C∞​

• 于是, 在球面$S$S, 扩充复平面${\bf C}_\infty$C∞​, 扩充复数集${\bf C}_\infty$C∞​之间分别建立了双射.

• 正常的复数及复平面上的点称为有限复数及有限点. 除特别声明外，只考虑有限复数及复平面.

• 复数$\infty$∞：实部, 虚部及辐角的概念无意义; 模约定为$|\infty|=+\infty$∣∞∣=+∞, 对任意有限复数$z$z, $z<+\infty$z<+∞.

• 为计算需要，引进下列运算的意义：设$\alpha$α为有限复数，那么$\alpha \pm \infty=\infty \pm \alpha=\infty$α±∞=∞±α=∞ $\alpha \cdot \infty = \infty \cdot \alpha =\infty(\alpha \neq 0)$α⋅∞=∞⋅α=∞(α​=0) $\frac{\alpha}{0}=\infty, \frac{\alpha}{\infty}=0(\alpha \neq 0)$0α​=∞,∞α​=0(α​=0)运算$\infty \pm \infty,0\cdot\infty,\frac{0}{0}$∞±∞,0⋅∞,00​以及$\frac{\infty}{\infty}$∞∞​没有意义.