【C/C++】乘法逆元与线性同余方程

前置知识

• 拓展欧几里得算法

乘法逆元

• 给定整数b,m互质，且有b|a，则存在一个整数x，使得$a/b\ ☰\ a*x(mod\ m)$a/b ☰ a∗x(mod m)成立。此时，x便是b模m的乘法逆元，记为$b^{-1}(mod\ m)$b−1(mod m)。

因为$a/b☰a*x☰a/b*b*b^{-1}(mod\ m)$a/b☰a∗x☰a/b∗b∗b−1(mod m)，所以$b*b^{-1}☰1(mod\ m)$b∗b−1☰1(mod m)。

特殊的，当m为质数时，由费马小定理可知，$b^{m-1}☰1(mod\ m)$bm−1☰1(mod m)，所以此时$b^{-1}(mod\ m)$b−1(mod m) = $b^{m-2}$bm−2。

若m不为质数，则需要求解线性同余方程$b*x☰1(mod\ m)$b∗x☰1(mod m)，来算出x。

线性同余方程

• 给定整数a,b,m。求满足方程$a*x☰b(mod\ m)$a∗x☰b(mod m)的 x，或给出无解。

求解过程如下：
当然，这个是特解，通解表示如下：
$x = ((x_o*b/g)\%(m/g)+(m/g))\%(m/g)$x=((xo​∗b/g)%(m/g)+(m/g))%(m/g)

其意义是，所以模（m/g）与（x*b/g）同余的整数。

具体推导过程有ACwing的聚聚AC_Jobim已经给出，点这里