数学: n阶微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数

前言:

学习高数多年，昨天被朋友问到n阶微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数，一时间倒也不知道如何回答，发现似乎自己从来没注意过这个问题，因此回炉重造一下，倒是有一些新的收获。

文章目录

• 一、定义
• 1、微分方程
• 2、微分方程的阶
• 3、微分方程通解
• 二、求导是一种线性函数
• 三、微分方程与L
• 四、结语
• 五、遗憾
• 六、参考

一、定义

要解决n阶微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数这个问题，先来回顾一些定义：

1、微分方程

含有未知函数的导函数的方程称为微分方程。如下图所示:

其中，$y$y是关于自变量$x$x的函数。特别的，如果$y$y只是一个变量$x$x的函数，则这类方程称为常微分方程。上图就是一个常微分方程。

2、微分方程的阶

微分方程中出现的导函数的最高阶数，叫微分方程的阶, 如：
$x^3 y^{(3)}x^2y^{''} = 3 x$x3y(3)x2y′′=3x
是三阶微分方程。一般的:

3、微分方程通解

微分方程通解有如下定义:

好了，观察该定义，我们回到主题：

• (1): 为什么是$n$n个任意常数？
• (2): 为什么这几个任意常数是独立的？

要回答这两个问题，我们需要引入一些特别观点。

二、求导是一种线性函数

对函数$f$f求导，即求导的$D$D算子作用于$f$f上，而对$D$D算子，有
$D(x+y)=D(x)+D(y), D(cx)=cD(x)$D(x+y)=D(x)+D(y),D(cx)=cD(x)
因此$D$D算子是线性函数，同理有
$D^n(x+y)=D^n(x)+D^n(y), D^n(cx)=cD^n(x)$Dn(x+y)=Dn(x)+Dn(y),Dn(cx)=cDn(x)
因此$D^n$Dn算子也是线性函数，因此不同阶导数的$D$D算子组合$\mathcal{L}$L是一种线性函数

$\mathcal{L}=a_0D^0+ a_1D^1+a_2D^2+ ... + a_nD^n$L=a0​D0+a1​D1+a2​D2+...+an​Dn

三、微分方程与L

为了简单期间，我们这里只讨论线性微分方程。

对于任意的齐次线性微分方程，我们都可以找到对应的$\mathcal{L}$L, 并将其表示为$\mathcal{L}(y)=0$L(y)=0。比如$x^2y''-xy'+y=0$x2y′′−xy′+y=0, 我们可以有:
$\mathcal{L}=x^2D^2-xD^1+1D^0$L=x2D2−xD1+1D0

由于$\mathcal{L}$L是线性函数，这样要求解$y$y, 就可以放在线性空间中进行讨论。这样微分方程的通解就对应了$\mathcal{L}(y)=0$L(y)=0的解空间。经过高等代数的讨论（笔者现在也看不懂），$y$y存在的解空间是$n$n维的，因此由$n$n个常数决定，而不同维度的空间坐标一定是独立的。

如果是非齐次线性微分方程$\mathcal{L}(y)=f(x)$L(y)=f(x), 从矩阵角度理解，其实也就相当于从解$Ax=0$Ax=0到解$Ax=b$Ax=b的过渡，也是同样的结论。

这样我们就能理解【n阶线性微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数】了。

而在笔者和朋友的讨论过程中，朋友给出了一个很精辟的直观理解:
【n阶微分方程其实等价于一个n元线性微分方程组，相当于给了n维空间一个质点速度和位移满足的关系，需要确定的只是初始位置，是个n维向量】 本质上也就是这个意思。

四、结语

本文纯属自己理解，很不严谨，但是思想是没问题的。核心思想就是:
【求导，就是一个线性函数】 所以最后$D，D^2, ..., D^n$D，D2,...,Dn的组合$\mathcal{L}$L也是线性函数，而线性微分方程可以等价表示为$\mathcal{L(y)}$L(y)，这就可以把解线性微分方程放到线性函数的范畴里面去讨论。最后就能理解为什么【n阶线性微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数】了。

五、遗憾

笔者不是数学专业，只是恰巧一个朋友问到这个问题，因此查了查资料，结合自己对线性代数的理解写下这篇文章，只是说明了【n阶线性微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数】。如果把线性去掉， 就不知道怎么理解了。有点虎头蛇尾的意思，不过目前水平有限，只能到这里了。

六、参考

[1] 马同学：高等数学
[2] 代数学引论（第二卷） （俄罗斯）斯科特利金。P274-P276