【数学问题2】动力学基础

在先前的文章中，我们已经讨论过了四足机器人的腿部运动学建模，但是仅有运动学部分是不够的的，因为机器人时刻出于运动当中，是一个时变系统，在此运动中，机器人的速度，加速度也可能会时间变化。而涉及到加速度，就离不开力，涉及到力的分析，就离不开动力学。

现在，我们先将问题简化，假定机身是固定在空间中的某一点上，来分析腿部模型的动力学模型

一、速度和静力

要研究动力学，我们首先从刚体运动开始

下面下来讨论一些基本知识：向量微分，角速度的表示及符号

当物体的质量可以集中于一点时，我们可以忽略物体本身的旋转，只考虑其线速度。

定义参考系{B}中一点Q，其位置表示为 $^BP_Q$ ，其速度为 $^BV_Q$

因此有以下关系：

$^BV_Q = \frac{d^BP_Q}{dt} = \underset{\Delta t\rightarrow 0}{lim}\frac{^BP_Q(t+\Delta t)- ^BP_Q(t)}{\Delta t}$

上式描述了，Q点位置的时间微分，即Q点的速度（B参考系下）。

参考系是非常重要的，这点不能忽略，举个例子，Q点在坐标系B下观察时，其速度不随时间变化，即速度为0，而参考系{B}本身有可能是运动的，因此，点Q在其他参考系下观察时，其速度不一定为0

与位置变换类似，速度也是可以在不同坐标系下进行变化的：

$^A（^BV_Q） = ^A(\frac{d^BP_Q}{dt}) = _{A}^{B}\textrm{R}^BV_Q$

多数情况下会讨论某一个坐标原点相对于世界参考系的速度，此时不去深究其相对于其他任意坐标系的的速度，这种情况下会写作：
$v_c = ^UV_{CORG}$

当物体不能看做是一个质点时，我们就得考虑其本身的旋转，通常用角速度来描述。用 $\Omega$ 表示。

【数学问题2】动力学基础
上图中 $^A\Omega_B$ 描述了坐标系{B}相对于于坐标系{A}的旋转

现在讨论一种情况，假设从坐标系{B}观察点Q，其位置不随时间变化，而{B}相对于于坐标系{A}的旋转，计算Q点在{A}下的速度（具体推导过程略）：

$^AV_Q = \ ^A\Omega_B \ \times \ ^AP_Q$

叉乘公式为：

其中:

$^AP_Q = \ ^A_B R \ ^BP_Q$

一般情况下，点Q是相对于{B}变化的，因此需要加上线速度分量：

$^AV_Q = \ ^AR_B \ ^BV_Q + ^A \Omega_B\ \times \ ^A_BR \ ^BP_Q$

加上原点的线速度，将上式推广到坐标原点不重合的情况：

$^AV_Q =\ ^AV_{BORG} + \ ^A_BR \ ^BV_Q \ + \ ^A \Omega_B \ \times \ ^A_BR \ ^BP_Q$

【数学问题2】动力学基础
规定 $\omega_i$ 为连杆坐标系 $\{i\}$ 的角速度， $v_i$ 为连杆坐标系原点的线速度。由于操作臂是链式结构，每一个连杆的运动都与它相邻杆有关

旋转关节

根据DH模型，我们计算其角速度值：

$^i \omega_{i+1} = \ ^i \omega_i + ^i_{i+1}R \dot \theta_{i+1} \ ^{i+1}\hat Z _{i+1}$

其中：

$\theta_{i+1} \ ^{i+1}\hat Z _{i+1} =\ ^{i+1} \begin{bmatrix} 0 \\ 0\\\dot \theta_{i+1} \end{bmatrix}$

需要注意，DH模型中我们定义旋转轴为Z轴，因此才会有 $\theta_{i+1} \ ^{i+1}\hat Z _{i+1}$

由于连杆 $i+1$ 的角速度是由关节运动产生，因此第 $i+1$ 个连杆相对于第 $i$ 连杆的角速度，等于连杆 $i$ 本身的角速度加上连杆 $i+1$ 的关节角速度

两边同时乘以 $^{i+1}_{i}R$ ，对观测坐标系进行变换，我们得到：

$^{i+1} \omega_{i+1} = ^{i+1}_{i}R \ ^i \omega_i + \dot \theta_{i+1} \ ^{i+1}\hat Z _{i+1}$

对于线速度：

$^iv_{i+1} = \ ^iv_i + \ ^i\omega_i \times \ ^iP_{i+1}$

两边同时乘以 $^{i+1}_{i}R$ ，得到：

$^{i+1}v_{i+1} =^{i+1}_{i}R ( \ ^iv_i + \ ^i\omega_i \times \ ^iP_{i+1})$