离散数学【关系】习题解析（二）自反对称传递，闭包，warshall

目录

• 1.求三大闭包
• 2. warshall算法
• 3 求传递闭包和对称闭包
• 5 求直积
• 6 判断集合类型
• 7 求t( R)

1.求三大闭包

R的关系矩阵如下

$M_R=\begin{bmatrix} 1&0&1&0&0\\ 0&0&1&0&1\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 1&0&0&0&0 \end{bmatrix}$MR​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​10001​00000​11100​00000​01010​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​
自反闭包r( R)将对角线补齐即可
$M_r(R)=\begin{bmatrix} 1&0&1&0&0\\ 0&1&1&0&1\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&1\\ 1&0&0&0&1 \end{bmatrix}$Mr​(R)=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​10001​01000​11100​00010​01011​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​
对称闭包s( R)将矩阵沿着对角线补对称
$M_s(R)=\begin{bmatrix} 1&0&1&0&1\\ 0&0&1&0&1\\ 1&1&1&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 1&1&0&1&0 \end{bmatrix}$Ms​(R)=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​10101​00101​11100​00001​11010​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​
传递闭包t( R)需要进行关系的复合
$M(R^2)=\begin{bmatrix} 1&0&1&0&0\\ 0&0&1&0&1\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 1&0&0&0&0 \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix} 1&0&1&0&0\\ 0&0&1&0&1\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 1&0&0&0&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&1&0&0\\ 1&0&1&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&1&0&0 \end{bmatrix}$M(R2)=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​10001​00000​11100​00000​01010​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​∘⎣⎢⎢⎢⎢⎡​10001​00000​11100​00000​01010​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​11011​00000​11101​00000​00000​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​
因为2传递的
$R\bigcup R^2=\begin{bmatrix} 1&0&1&0&0\\ 0&0&1&0&1\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 1&0&0&0&0 \end{bmatrix} \bigcup \begin{bmatrix} 1&0&1&0&0\\ 1&0&1&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&1&0&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&1&0&0\\ 1&0&1&0&1\\ 0&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 1&0&1&0&0 \end{bmatrix}$R⋃R2=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​10001​00000​11100​00000​01010​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​⋃⎣⎢⎢⎢⎢⎡​11011​00000​11101​00000​00000​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​11011​00000​11101​00000​01010​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

$M(R^3)=\begin{bmatrix} 1&0&1&0&0\\ 1&0&1&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 1&0&1&0&0\\ 1&0&1&0&0 \end{bmatrix}$M(R3)=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​11011​00000​11111​00000​00000​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

可以看出R³$\nsubseteq$⊈ R$\bigcup$⋃ R²

所以
$R\bigcup R^2\bigcup R^3=\begin{bmatrix} 1&0&1&0&0\\ 0&0&1&0&1\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 1&0&0&0&0 \end{bmatrix} \bigcup \begin{bmatrix} 1&0&1&0&0\\ 1&0&1&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&1&0&0 \end{bmatrix} \bigcup \begin{bmatrix} 1&0&1&0&0\\ 1&0&1&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 1&0&1&0&0\\ 1&0&1&0&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&1&0&0\\ 1&0&1&0&1\\ 0&0&1&0&0\\ 1&0&1&0&1\\ 1&0&1&0&0 \end{bmatrix}$R⋃R2⋃R3=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​10001​00000​11100​00000​01010​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​⋃⎣⎢⎢⎢⎢⎡​11011​00000​11101​00000​00000​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​⋃⎣⎢⎢⎢⎢⎡​11011​00000​11111​00000​00000​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​11011​00000​11111​00000​01010​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

$M(R^4)=\begin{bmatrix} 1&0&1&0&0\\ 1&0&1&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 1&0&1&0&0\\ 1&0&1&0&0 \end{bmatrix}$M(R4)=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​11011​00000​11111​00000​00000​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

发现 R⁴$\subseteq$⊆ R$\bigcup$⋃ R²$\bigcup$⋃ R³

所以t(R)=R$\bigcup$⋃ R²$\bigcup$⋃ R³

2. warshall算法

R的关系图如下

R的关系矩阵如下
$M(R)=\begin{bmatrix} 0&0&0&0&1&1\\ 0&0&0&0&0&0\\ 1&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0 \end{bmatrix}$M(R)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​001000​000010​001000​000000​100100​100000​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​
warshall算法的核心是，从列开始计算，在为1的元素中，身处在那x列就将x行的值加入当前元素所在的行
$M31=\begin{bmatrix} 0&0&0&0&1&1\\ 0&0&0&0&0&0\\ 1&0&1&0&1&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0 \end{bmatrix}$M31=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​001000​000010​001000​000000​101100​101000​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

$M52=\begin{bmatrix} 0&0&0&0&1&1\\ 0&0&0&0&0&0\\ 1&0&1&0&1&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0 \end{bmatrix}$M52=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​001000​000010​001000​000000​101100​101000​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

$M33=\begin{bmatrix} 0&0&0&0&1&1\\ 0&0&0&0&0&0\\ 1&0&1&0&1&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0 \end{bmatrix}$M33=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​001000​000010​001000​000000​101100​101000​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

$M15=\begin{bmatrix} 0&1&0&0&1&1\\ 0&0&0&0&0&0\\ 1&0&1&0&1&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0 \end{bmatrix} M35=\begin{bmatrix} 0&1&0&0&1&1\\ 0&0&0&0&0&0\\ 1&1&1&0&1&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0 \end{bmatrix} M45=\begin{bmatrix} 0&1&0&0&1&1\\ 0&0&0&0&0&0\\ 1&1&1&0&1&1\\ 0&1&0&0&1&0\\ 0&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0 \end{bmatrix}$M15=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​001000​100010​001000​000000​101100​101000​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​M35=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​001000​101010​001000​000000​101100​101000​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​M45=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​001000​101110​001000​000000​101100​101000​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

$M16=M36=\begin{bmatrix} 0&1&0&0&1&1\\ 0&0&0&0&0&0\\ 1&1&1&0&1&1\\ 0&1&0&0&1&0\\ 0&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0 \end{bmatrix}$M16=M36=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​001000​101110​001000​000000​101100​101000​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

M36就是她的传递闭包t(R)，关系图为，其中红色线（代替虚线更加明显）部分是新加入的序偶

3 求传递闭包和对称闭包

关系矩阵如下
$M(R)=\begin{bmatrix} 0&1&0&1&1\\ 1&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&1\\ 1&0&1&0&0\\ 0&1&0&1&1\\ \end{bmatrix}$M(R)=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​01010​10001​01010​10101​10101​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​
其对称闭包为，只需将矩阵沿对角线补齐即可
$M_s(R)=\begin{bmatrix} 0&1&0&1&1\\ 1&0&1&0&1\\ 0&1&0&1&1\\ 1&0&1&0&1\\ 1&1&1&1&1\\ \end{bmatrix}$Ms​(R)=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​01011​10101​01011​10101​11111​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​
传递闭包的warshall算法
$M21=\begin{bmatrix} 0&1&0&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&1\\ 1&0&1&0&0\\ 0&1&0&1&1\\ \end{bmatrix} M41=\begin{bmatrix} 0&1&0&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 0&1&0&1&1\\ \end{bmatrix}$M21=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​01010​11001​01010​11101​11101​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​M41=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​01010​11011​01010​11111​11111​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

$M12=\begin{bmatrix} 1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 0&1&0&1&1\\ \end{bmatrix} M52=\begin{bmatrix} 1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ \end{bmatrix}$M12=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​11010​11011​11010​11111​11111​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​M52=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​11011​11011​11011​11111​11111​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

$M34=\begin{bmatrix} 1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ \end{bmatrix}=t(R)$M34=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​11111​11111​11111​11111​11111​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​=t(R)

所以传递闭包t(R)为M34

等价类定义如下

5 求直积

P(A)={A的所有子集的集合}=2^A
求P(A)与A的直积

AXP(A)={<a,a>,<a,$\emptyset$∅>,<a,b>,<a,a,b>,<b,a>,<b,b>,<b,$\emptyset$∅>,<b,a,b>}

6 判断集合类型

(1) R={<1,2>,<1,4>,<1,6>,<2,1>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<4,1>,<4,2>,<,4,4>,<4,6>,<6,1>,<6,2>,<6,4>,<6,6>}

没有<1,1>有<2,2>所以既不是反自反也不是自反

每一条线都有反向的所以是对称的

是可传递的

(2)R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<4,1>,<4,2>,<4,4>,<6,1>,<6,2>,<6,6>}

每个节点都有自旋，所以是自反的

任何不相等的节点连线都只有一条，所以是反对称的

不是可传递的

7 求t( R)

R关系矩阵如下

	a	b	c	d	e
a	0	1	0	0	0
b	0	0	1	0	1
c	0	0	0	1	0
d	0	0	1	0	0
e	0	0	0	0	1

包含的序偶

R={<a,b>,<b,c>,<b,e>,<c,d>,<d,c>,<e,e>}

r®={<a,a>,<a,b>,<b,b>,<b,c>,<b,e>,<c,c>,<c,d>,<d,c>,<d,d>,<e,e>}

s(R)={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<b,e>,<c,b>,<c,d>,<d,c>,<e,b>,<e,e>}

使用warshall算法求得的传递闭包
$M( R)=\begin{bmatrix} 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&1\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1 \end{bmatrix} M12=\begin{bmatrix} 0&1&1&0&1\\ 0&0&1&0&1\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1 \end{bmatrix}$M(R)=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​00000​10000​01010​00100​01001​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​M12=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​00000​10000​11010​00100​11001​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

$M13=\begin{bmatrix} 0&1&1&1&1\\ 0&0&1&0&1\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1 \end{bmatrix} M23=\begin{bmatrix} 0&1&1&1&1\\ 0&0&1&1&1\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1 \end{bmatrix} M43=\begin{bmatrix} 0&1&1&1&1\\ 0&0&1&1&1\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&1&1&0\\ 0&0&0&0&1 \end{bmatrix}$M13=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​00000​10000​11010​10100​11001​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​M23=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​00000​10000​11010​11100​11001​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​M43=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​00000​10000​11010​11110​11001​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

$M34=\begin{bmatrix} 0&1&1&1&1\\ 0&0&1&1&1\\ 0&0&1&1&0\\ 0&0&1&1&0\\ 0&0&0&0&1 \end{bmatrix}$M34=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​00000​10000​11110​11110​11001​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

$M55=\begin{bmatrix} 0&1&1&1&1\\ 0&0&1&1&1\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&1&1&0\\ 0&0&0&0&1 \end{bmatrix}$M55=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​00000​10000​11010​11110​11001​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

所以t(R)=M55