【Luogu 4630】[APIO2018] Duathlon 铁人两项（圆方树）

目录

• 题目
• 题目描述
• 输入格式
• 输出格式
• 输入输出样例
• 说明/提示
• 思路
• 圆方树
• 定义
• 性质
• 构建
• 代码

题目

题目描述

比特镇的路网由 $m$m 条双向道路连接的 $n$n 个交叉路口组成。

最近，比特镇获得了一场铁人两项锦标赛的主办权。这场比赛共有两段赛程：选手先完成一段长跑赛程，然后骑自行车完成第二段赛程。

比赛的路线要按照如下方法规划：

先选择三个两两互不相同的路口 $s, c$s,c 和 $f$f，分别作为比赛的起点、切换点（运动员在长跑到达这个点后，骑自行车前往终点）、终点。
选择一条从 $s$s 出发，经过 $c$c 最终到达 $f$f 的路径。考虑到安全因素，选择的路径经过同一个点至多一次。
在规划路径之前，镇长想请你帮忙计算，总共有多少种不同的选取 $s, c$s,c 和 $f$f 的方案，使得在第 $2$2 步中至少能设计出一条满足要求的路径。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$n 和 $m$m ，分别表示交叉路口和双向道路的数量。

接下来 $m$m 行，每行两个整数 $v_i, u_i$vi​,ui​。表示存在一条双向道路连接交叉路口 $v_i, u_i\:(1 ≤ v_i, u_i ≤ n,v_i \neq u_i)$vi​,ui​(1≤vi​,ui​≤n,vi​​=ui​)。

保证任意两个交叉路口之间，至多被一条双向道路直接连接。

输出格式

输出一行，包括一个整数，表示能满足要求的不同的选取 $s, c$s,c 和 $f$f 的方案数。

输入输出样例

输入 #1
4 3
1 2
2 3
3 4
输出 #1
8

输入 #2
4 4
1 2
2 3
3 4
4 2
输出 #2
14

说明/提示

提示

在第一个样例中，有以下 $8$8 种不同的选择 $(s,c,f)$(s,c,f) 的方案：$(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4),(3, 2, 1), (4, 2, 1), (4, 3, 1), (4, 3, 2)$(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),(3,2,1),(4,2,1),(4,3,1),(4,3,2)。

在第二个样例中，有以下 $14$14 种不同的选择 $(s, c, f)$(s,c,f) 的方案：$(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3),(3,2,1),(3,2,4),(3,4,1),(3,4,2), (4, 2, 1), (4, 2, 3), (4, 3, 1), (4, 3, 2)$(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(1,4,3),(2,3,4),(2,4,3),(3,2,1),(3,2,4),(3,4,1),(3,4,2),(4,2,1),(4,2,3),(4,3,1),(4,3,2)。

子任务（注：这里给出的子任务与本题在这里的最终评测无关，仅供参考）

Subtask 1 (points: $5$5): $n \leq 10, m \leq 100$n≤10,m≤100
Subtask 2 (points: $11$11): $n \leq 50, m \leq 100$n≤50,m≤100
Subtask 3 (points: $8$8): $n \leq 100000$n≤100000，每个交叉路口至多作为两条双向道路的端点
Subtask 4 (points: $10$10): $n \leq 1000$n≤1000，在路网中不存在环（存在环是指存在一个长度为 $k (k ≥ 3)$k(k≥3) 的交叉路口序列 $v_1, v_2,..., v_k$v1​,v2​,...,vk​，序列中的路口编号两两不同，且对于 $i$i 从 $1$1 到 $k−1$k−1，有一条双向道路直接连接路口 $v_i$vi​ 和 $v_{i+1}$vi+1​，且有一条双向道路直接连接路口 $v_k$vk​ 和 $v_1$v1​）
Subtask 5(points: $13$13): $n \leq 100000$n≤100000，在路网中不存在环
Subtask 6(points: $15$15): $n \leq 1000$n≤1000，对于每个交叉路口，至多被一个环包含
Subtask 7(points: $20$20): $n \leq 100000$n≤100000，对于每个交叉路口，至多被一个环包含
Subtask 8(points: $8$8): $n \leq 1000, m \leq 2000$n≤1000,m≤2000
Subtask 9(points: $10$10): $n \leq 100000, m \leq 200000$n≤100000,m≤200000

思路

对于无向图上的简单路径问题，一般我们会试用 $tarjan$tarjan 这个优（gui）秀（chu）的东西。
对于这一题，我们需要先将每一个点双联通分量缩起来。
于是解引出了我国庆集训刚学习的 毒瘤 东西：
——圆方树
会圆方树的奆佬们请自觉忽略以下文字。

圆方树

对于圆方树这个东西，我想贴一张图：

………………………………………

---

定义

在圆方树中，原来的每个点对应一个圆点，每一个点双对应一个方点。
所以共有 $n+c$n+c 个点，其中 $n$n 是原图点数，$c$c 是原图点双连通分量的个数。
造一颗圆方树，就可以支持一些对无向图路径的操作了。
聪明机智 的我又开始 盗图 了。

（不要face的把图片下面的网址改成了红色。。。）

性质

有一些 显而易见 的性质：

• 对于任意无向图 $G=\{V , E\}$G={V,E} 均满足建出来的是森林。
• 对于任意连通无向图 $G$G 均满足建出来的是一颗无根树。
• 方点只能和圆点相邻，同样，圆点只能和方点相邻。
• 如果两个方点有公共相邻的圆点，那这个圆点就是这两个方点代表的点双的割点。
• 原图的割点是圆方树中度数 $>1$>1 的圆点。
• 方点的点度是点双联通分量的大小。
• 我不知道（编不下去）了……

构建

似乎很简单？
首先 $Tarjan$Tarjan 缩点，把每个大小超过 $1$1 的环里面的所有点都向一个新点（方点）连边。
然后把多出来的连接两个圆点的边直接给连上。
就完事了。。。

---

那么这题怎么做呢？
这好像就是一道圆方树裸题。
具体见下：

• 把圆方树建出来，在树中任意枚举两个圆点作为 $s$s 和 $f$f ，然后考虑 $c$c 有多少种选法，两个点路径上每个点双中的点都可以选。
• 令每个圆点的权值为$−1$−1，每个方点的权值为点双大小，可以得到答案就是两点之间的点权和，也就是说我们要求圆方树上 $n^2$n2 条圆点到圆点的路径的权值和。
• 可以想到计算每个点被算了多少次，可以用一遍$dfs$dfs得到。这样就可以在线性的时间内做完这题了。????

代码

……（待更）（其实就是不会）