计算机系统课程 笔记总结 CSAPP第二章 信息的表示和处理（2.3-2.4）

2.3 整数运算

	算术运算: 基本规则 加法: 无/有符号数的加法: 正常加法后再截断,位级的运算相同 无符号数:加后对2w求模 数学加法 + 可能减去 2w 有符号数: 修改的加后对 2w 求模，使结果在合适范围 数学加法 + 可能减去或加上 2w 乘法: 无/有符号数的乘法:正常乘法后加截断操作,位级运算相同 无符号数:乘后对2w求模 有符号数: 修改的乘后对 2w 求模，使结果在合适范围内
			无符号整数、补码整数是同构环(isomorphic rings) 同构 = 类型转换  (isomorphism = casting) 左移 无论有/无符号数，都可用逻辑左移实现乘以 2k 右移 无符号数: 逻辑右移,除以 2k (除法 +向0舍入) 有符号数: 算术右移 正整数:除以 2k (除法 + 向0舍入) 负整数:除以 2k (除法 + 远离0舍入)，使用偏置来修正

	2.3.1 无符号加法
		操作数：w位 真实和：w+1位 丢弃进位后：w位
		数值面有弯折 非饱和运算——不单调 当真实和>=2^w时溢出 最多溢出一次

2.3.2 补码加法

			真实和需要w+1位 丢弃最高有效位（MSB） 将剩余的位视作补码（整数）
		判断补码是否超范围： 正常： Xh != Yh 或 Xh==Yh==Zh 溢出： Xh==Yh != Zh

2.3.3 补码的非

注意：在w位最小值取非时，值不变

2.3.4 无符号乘法

w位和w位无符号数做乘法，2w位取低w位

即截断为w位，等价于该值模2^w

2.3.5 补码乘法

	标准乘法功能 忽略高w位 有符号数乘、无符号数乘有不同之处：  乘积的符号扩展 乘积的低位相同

2.3.6 乘以常数

	乘法指令很慢 移位+加法---代替--->乘法 重点考虑乘以2的幂		优化

2.3.7 除以2的幂

算术右移k位=除以2的k次方

2.3.8 关于整数运算的最后思考

• 一定要知道隐含的转换规则，否则不要用：
  • 常见错误
    • unsigned i;
    • for (i = cnt-2; i >= 0; i--)
    •   a[i] += a[i+1];
  • 不易察觉的问题
    • #define DELTA sizeof(int)     //sizeof()类型unsigned
    • int i;
    • for (i = CNT;  i - DELTA >= 0; i -= DELTA)
    •   . . .

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2.4 浮点数

2.4.1 二进制小数

		表示的有理数:    ????=−????????????????×2???? “小数点”右边的位代表小数部分
	局限性 近似表示 只能精确表示形如 x/2k的数值 其他有理数的二进制表示存在重复段 数值    二进制表示 1/3    0.0101010101[01]…2 1/5    0.001100110011[0011]…2 1/10    0.0001100110011[0011]…2 在计算机内的实现问题 长度有限的w位 只能在w位内设置一个二进制小数点 限制了数的范围 定点数 小数点隐含在w位编码的某一个固定位置上 例如MSB做符号位，隐含后面是小数点，表示小于1.0的纯小数123.456怎么办？？？

2.4.2 IEEE浮点表示

IEEE标准754

• 快速、易于实现
• 精度损失小
• 优雅、易理解
• 所有主流CPU都支持
• 之前有很多不同格式、不太关注精确性

	尾数(Significand) 编码隐含先导数值1: M  =  1.xxx…x  xxx…x: 是 frac字段的数码 frac=000…0 (M = 1.0)时，为最小值 frac=111…1 (M = 2.0 – ε)时，为最大值 额外增加了一位的精度（隐含值1） 非规则化没有默认1.xxx 条件：exp≠000…0 且 exp≠111…1 阶码采用偏置值编码： E=Exp-Bias Exp：exp字段的无符号数值 Bias偏置：2k-1 - 1,  k 为阶码的位数 单精度：127 (Exp: 1…254, E: -126…127) 双精度: 1023 (Exp: 1…2046, E: -1022…1023) 规则化数

• 条件: exp = 000…0
  • 阶码(Exponent) 值: E = 1 – Bias =-126/-1022(instead of E = 0 – Bias)
  • 尾数(Significand)编码隐含先导数值0: M = 0.xxx…x2
    • xxx…x:是 frac字段的数码
• 情况1： exp = 000…0, frac = 000…0
  • 表示值0
  • 注意有不同的数值 +0 和 –0 (why?)
• 情况2：exp = 000…0, frac ≠ 000…0
  • 最接近0.0的那些数
  • 间隔均匀
  • 逐渐下溢
• 非规则化数

• 条件：阶码全为1，exp = 111…1
• 当小数域全为0，frac=000…0
  • 当s=0时
    • 值：+∞
  • 当s=1时
    • 值：-∞
• 当小数域非0
  • NaN（Not a Number）
• 特殊值

2.4.3 数字实例

规格化浮点数表示范围：

• 单精度：
  • 约 +3.4 X 1038
• 双精度
  • 约 +1.8 X 10308

2.4.4 舍入

• 基本思想
  • 首先，计算精确结果
  • 然后，变换到指定格式
    • 可能溢出：阶码太大
    • 小数部分可能需要舍入

默认：向偶数舍入

• 其他方法都有统计偏差，对正整数集合求和时，和将始终被低估或高估（负偏差、正偏差）
• 当恰好在两个可能的数值正中间时（中间值）：
  • 舍入后，最低有效位的数码为偶数，即最低有效位值为0
    • 7.8950000        7.90        (中间值—向上舍入)
    • 7.8850000        7.88        (中间值—向下舍入)
• 其他时候：
  • 向最近的数值舍入
  • 比中间值小向下舍入，比中间值大向上舍入
    • 7.8949999        7.89        (比中间值小：向下舍入)
    • 7.8950001        7.90        (比中间值大：向上舍入)

2.4.5 浮点运算

	浮点数加法 (–1)s1 M1  2E1   +   (-1)s2 M2  2E2 假设 E1 > E2 准确结果: (–1)s M  2E 符号 s, 尾数M: 有符号数对齐、相加的结果 阶码(Exponent) E:     E1 修正 M ≥ 2：将M右移(1位)，E加1 M < 1：将M左移k 位, E 减 k E超范围：溢出 将M舍入，以符合小数部分的精度要求 数学性质： 封闭性 交换性 分配性 No！ 溢出和舍入的不确定性 (3.14+1e10)-1e10 = 0 3.14+(1e10-1e10) = 3.14 单调性 a ≥ b ⇒ a+c ≥ b+c 除了无穷和NaN		浮点数乘法 (–1)s1 M1  2E1   x   (–1)s2 M2  2E2 精确结果: (–1)s M  2E 符号(Sign) s:         s1 ^ s2 尾数(Significand) M:     M1 x  M2 阶码(Exponent) E:     E1 + E2 修正 如M ≥ 2, 将M右移(1位), E加1 如 E 超出范围，则溢出 将M舍入，以符合小数部分的精度要求 实现 主要问题：实现尾数的乘 数学性质 封闭性 但可能产生无穷或NaN 交换性 结合性 No！ 可能溢出、舍入不精确 (1e20*1e20)*1e-20= inf 1e20*(1e20*1e-20)= 1e20 1是乘法的单位元 乘法对加法的分配性？No！ 可能溢出、舍入不精确 1e20*(1e20-1e20)= 0.0 1e20*1e20 – 1e20*1e20 = NaN 单调性 a ≥ b  & c ≥ 0  ⇒ a * c ≥ b *c? 除了无穷和NaN

2.4.6 C语言的浮点数

• 两种精度
  • float    单精度
  • double    双精度
• 类型转换
  • int, float, double 间转换，将改变位模式
  • double/float → int
    • 截掉小数部分
    • 类似向0舍入
    • 当数值超范围或NaN时无定义：通常设置为 TMin
  • int → double
    • 精确转换，只要int的位宽 ≤ 53 bit，即可精确转换
  • int → float
    • 将根据舍入模式进行舍入