【参考资料】
1.万门大学：傅立叶变换、拉普拉斯变换与小波变换
【傅里叶变换系列博客】
1.傅里叶变化（一）—— 复数
2.傅里叶变换（二）—— 卷积
3.傅里叶变换（三）—— 傅里叶变换
1 什么是卷积
先给出卷积的定义（图源自维基）：
(
f
∗
g
)
(
x
)
=
∫
f
(
t
)
g
(
x
−
t
)
d
t
(f*g)(x)=\int f(t)g(x-t)dt
(f∗g)(x)=∫f(t)g(x−t)dt
理解卷积的意义，结合例子 —— 计算粮仓中粮食的存留量
首先定义两个关于时间
t
t
t 的函数
f
(
t
)
,
g
(
t
)
f(t),g(t)
f(t),g(t)
其中，
- g ( t ) g(t) g(t): 粮仓接受新粮的速率
-
f
(
t
)
f(t)
f(t): 新粮经过
t
t
t 时间后还剩下多少的比例
如图可知
- g-t 图：粮仓在 t 0 t_0 t0 时刻接受了 g ( t 0 ) g(t_0) g(t0) 数量的新粮
- f-t 图：一定数量的新粮经过 Δ t \Delta t Δt 时间后只剩下原先的 f ( Δ t ) × 100 % f(\Delta t)\times 100\% f(Δt)×100%。
进一步可得，对于在
t
0
−
Δ
t
t_0-\Delta t
t0−Δt 时刻接受的
g
(
t
0
−
Δ
t
)
g(t_0-\Delta t)
g(t0−Δt) 数量的新粮，在
t
0
t_0
t0 时刻只剩下了
f
(
Δ
t
)
g
(
t
0
−
Δ
t
)
f(\Delta t)g(t_0-\Delta t)
f(Δt)g(t0−Δt)。由此我们就可以计算出
t
t
t 时刻粮仓中的粮食存留量
S
(
t
)
S(t)
S(t)
S
(
t
)
=
∑
i
f
(
t
i
)
g
(
t
−
t
i
)
=
∫
0
t
f
(
t
i
)
g
(
t
−
t
i
)
d
t
i
S(t)=\sum_{i}f(t_i)g(t-t_i)=\int_0^tf(t_i)g(t-t_i)dt_i
S(t)=i∑f(ti)g(t−ti)=∫0tf(ti)g(t−ti)dti
2 卷积的常见性质
由于这些常见性质与普通的函数非常一致，也比较容易理解，因此这里指给结论不谈证明（具体证明请看参考资料1）
2.1 线性（分配率）
f ∗ ( α g 1 + β g 2 ) = α f ∗ g 1 + β f ∗ g 2 f*(\alpha g_1+\beta g_2)=\alpha f*g_1+\beta f*g_2 f∗(αg1+βg2)=αf∗g1+βf∗g2
2.2 交换律
f ∗ g = g ∗ f f*g=g*f f∗g=g∗f
2.3 结合律
k ∗ ( f ∗ g ) = ( k ∗ f ) ∗ g k*(f*g)=(k*f)*g k∗(f∗g)=(k∗f)∗g