Bzoj P2301 [HAOI2011]Problem b___莫比乌斯反演+容斥

题目大意：

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

$1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000$
$1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000$

分析：

设 $d_{x,y}$ 表示 $\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}[gcd(i,j)=k]$
那答案容斥一下可以知道就是 $d_{b,d}-d_{a-1,d}-d_{b,c-1}+d_{a-1,c-1}$
那么我们考虑求 $d_{x,y}$
$d_{x,y}$
= $\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}gcd(i,j)=k$
$=\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{x}{k} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{y}{k} \right \rfloor}[gcd(i,j)=1]$
我们知道莫比乌斯函数有一个性质，
$\sum_{d|n}μ(d)=[n=1]$ ，
那么当 $gcd(i,j)=1$ 时，
显然 $\sum_{d|gcd(i,j)}μ(d)=1$
那么
$\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{x}{k} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{y}{k} \right \rfloor}[gcd(i,j)=1]$
就可以写成
$=\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{x}{k} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{y}{k} \right \rfloor} \sum_{d|gcd(i,j)}μ(d)$
然后这个东西可以转换一下，安利一个博客，
https://www.cnblogs.com/NaVi-Awson/p/8318709.html
Bzoj P2301 [HAOI2011]Problem b___莫比乌斯反演+容斥
然后我们对于所有的 $\left \lfloor \frac{n}{kd} \right \rfloor$ ，可以发现取值最多只有 $\sqrt{n}$ 种，并且相同的都是连续的一段，那么我们就可以愉快的预处理出 $mobius$ 函数的前缀和，然后分块处理 $\left \lfloor \frac{n}{kd} \right \rfloor$ ，就可以求出 $=\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{x}{k} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{y}{k} \right \rfloor} \sum_{d|gcd(i,j)}μ(d)$ ，就可以让每次查询的复杂度都达到根号级别。

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<queue>
#define N 50005
 
using namespace std;
 
typedef long long ll;
 
int prime[N], check[N], sum[N], mu[N], T, a, b, c, d, k, cnt;
 
void Get_mobius()
{
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= 50000; i++)
    {
         if (!check[i])
         {
             prime[++cnt] = i;
             mu[i] = -1;
         }
         for (int j = 1; j <= cnt; j++)
         {
              if (prime[j] * i > 50000) break;
              check[prime[j] * i] = 1;
              if (i % prime[j] == 0) { mu[prime[j] * i] = 0; break; }
                                else mu[prime[j] * i] = - mu[i];
         }
    }
    for (int i = 1; i <= 50000; i++) sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
}
 
ll Cal(int x, int y) 
{
    ll num = 0;
    if (x > y) swap(x, y);
    for (int i = 1, last; i <= x; i = last + 1)
    {
         last = min(x / (x / i), y / (y / i));
         num += (ll)(sum[last] - sum[i - 1]) * (x  / i) * (y / i);
    }
    return num;
}
 
int main()
{
    Get_mobius();
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
           scanf("%d %d %d %d %d", &a, &b, &c, &d, &k);
           ll ans = Cal(b / k, d / k) - Cal((a - 1) / k, d / k) - Cal(b / k, (c - 1) / k) + Cal((a - 1) / k, (c - 1) / k);
           printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}