理解无线信道

一、无线信道的输入输出模型

1.无线信道线性时变系统

输入一个正弦信号$\phi(t)=cos(2{\pi}ft)$ϕ(t)=cos(2πft)，根据电磁波传播方程，输出信号为$\sum\limits_ia_i(f,t)\phi(t-{\tau}_i(f,t))$i∑​ai​(f,t)ϕ(t−τi​(f,t))。对于窄带系统，我们可以认为路径增益$a_i$ai​与路径时延${\tau}_i$τi​与频率$f$f无关。那么对于任意一个输入信号$x(t)$x(t)，可以得到输出响应为:
$y(t)=\sum\limits_ia_i(t)x(t-\tau_i(t))$y(t)=i∑​ai​(t)x(t−τi​(t))多径信道是时变的，信道的冲击响应就不能像时不变信道那样用$h(t)$h(t)表示，应该表示为$h(\tau,t)$h(τ,t)，可以认为现在的$\tau$τ和之前的$t$t一样，为快变量，现在的$t$t为慢变量。信道的输出信号可以表示为：
$y(t)={\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau,t)x(t-\tau)d\tau}$y(t)=∫−∞∞​h(τ,t)x(t−τ)dτ与上面的式子对比，可以得到$h(\tau,t)=\sum\limits_ia_i(t)\delta(\tau-\tau_i(t))$h(τ,t)=i∑​ai​(t)δ(τ−τi​(t))自然频率响应也应该对$\tau$τ变换，$H(f;t)=\sum\limits_ia_i(t)e^{-j2\pi f\tau_i(t)}$H(f;t)=i∑​ai​(t)e−j2πfτi​(t)。

2.基带等效模型

实际中的信号都是实的，平常算法中所见到的复数就是这种等效基带信号。考虑一个实信号$s(t)$s(t)，傅里叶变换为$s(f)$s(f)带宽限制在$[f_c-W/2,f_c+W/2]$[fc​−W/2,fc​+W/2]。实信号的一半频谱就能包含信号的所有信息。考虑这样一个信号
$s_b(f)= \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{2}s(f+f_c) \ \ f+f_c\ge0 \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \quad \ \quad \ f+f_c\le0 \end{array} \right.$sb​(f)={2​s(f+fc​)  f+fc​≥00             f+fc​≤0​
根据傅里叶变换的性质$s(t)=\sqrt{2}Re(s_b(t)e^{j2\pi f_ct})$s(t)=2​Re(sb​(t)ej2πfc​t)，我们有了$x_b(t)$xb​(t)，同样得可以把$y(t)$y(t)表示为等效复基带信号。
$Re(y_b(t))=\sum\limits_ia_i(t)Re(x_b(t-\tau_i(t))e^{j2\pi f_c(t-\tau_i(t))})$Re(yb​(t))=i∑​ai​(t)Re(xb​(t−τi​(t))ej2πfc​(t−τi​(t))) $y_b(t)=\sum\limits_ia_i^b(t)x_b(t-\tau_i(t))$yb​(t)=i∑​aib​(t)xb​(t−τi​(t))这样系统的冲击响应也有一个基带表示$h_b(\tau,t)=\sum\limits_ia_i^b(t)\delta(t-\tau_i(t))$hb​(τ,t)=i∑​aib​(t)δ(t−τi​(t))。

3.离散时间基带模型

窄带信号的带宽为$W$W，那么基带信号就限制在$W/2$W/2。根据采样定理，任何我一个限制在$W/2$W/2内的波形都可以用正交基$sinc(Wt-n)$sinc(Wt−n)表示。
$x_b(t)=\sum\limits_nx[n]sinc(Wt-n)$xb​(t)=n∑​x[n]sinc(Wt−n)$x[n]$x[n]就是信号$x_b(t)$xb​(t)按照$1/W$1/W间隔采样得到的值。
$y_b(t)=\sum\limits_ia_i^b(t)\sum\limits_nx[n]sinc(W(t-\tau_i(t))-n)$yb​(t)=i∑​aib​(t)n∑​x[n]sinc(W(t−τi​(t))−n)同样接收方也按$1/W$1/W采样。
$y_b[m]=\sum\limits_nx[n]\sum\limits_ia_i^b(m/W)sinc(m-n-W\tau_i(m/W))$yb​[m]=n∑​x[n]i∑​aib​(m/W)sinc(m−n−Wτi​(m/W))令$l=m-n$l=m−n，$y_b[m]=\sum\limits_lx[m-l]\sum\limits_ia_i^b(m/W)sinc(l-W\tau_i(m/W))$yb​[m]=l∑​x[m−l]i∑​aib​(m/W)sinc(l−Wτi​(m/W))。定义信道抽头为:
$h_l[m]=\sum\limits_ia_i^b(m/W)sinc(l-W\tau_i(m/W))$hl​[m]=i∑​aib​(m/W)sinc(l−Wτi​(m/W)) $y_b[m]=\sum\limits_lx[m-l]h_l[m]$yb​[m]=l∑​x[m−l]hl​[m]现在才知道信道抽头之前一直没理解对，应该把它看作当前采样值$y[m]$y[m]受多少个发射信号采样值$x[m]$x[m]的影响。

二、统计信道模型

一个时变信道$y[m]=\sum\limits_lx[m-l]h_l[m]$y[m]=l∑​x[m−l]hl​[m]我们需要知道$h_l[m]$hl​[m]，就是抽头的数量和各个值
$h_l[m]=\sum\limits_ia_i^b(m/W)sinc(l-W\tau_i(m/W))$hl​[m]=i∑​aib​(m/W)sinc(l−Wτi​(m/W))路径$i$i足够多的话，路径的相位均匀分布在$[0,2\pi]$[0,2π]，均值为0根据中心极限定理，可以认为这个值服从高斯分布，这个叫瑞丽信道。如果有直射路径，均值不为0，此时服从莱斯分布，这样的叫莱斯信道。

个人理解，如有不对还望指正