初等模型---划艇比赛的成绩

赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四
种。各种艇虽大小不同，但形状相似。T. A. McMahon比较了各种赛艇1964-1970年四次2000m比赛的最好成绩(包括1964年和1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛)，见表1第1至6列，发现它们之间有相当一致的差别，他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联系，于是建立了一个模型来解释这种关系。

问题分析
赛艇前进时受到的阻力主要是艇浸没部分与水之间的摩擦力。艇靠桨手的力量克服阻力保持一定的速度前进。桨手越多划艇前进的动力越大。但是艇和桨手总质量的增加会使艇浸没面积加大，于是阻力加大，增加的阻力将抵消一部分增加的动力。建模目的是寻求桨手数量与比赛成绩(航行一定距离所需时间)之间的数量规律。如果假设艇速在整个赛程中保持不变，那么只需构造一个静态模型，使问题简化为建立桨手数量与艇速之间的关系。注意到在实际比赛中桨手在极短的时间内使艇加速到最大速度，然后把这个速度保持到终点，那么上述假设也是合理的。
为了分析所受阻力的情况，调查了各种艇的几何尺寸和质量，表1第7至10列给出了这些数据。可以看出，桨手数n增加时,艇的尺寸l，b及艇重wo都随之增加，但比值l/b和wo/n变化不大。若假定l/b是常数,即各种艇的形状一样，则可得到艇浸没面积与排水体积之间的关系.若假定wo/n是常数,则可得到艇和桨手的总质量与桨手数之间的关系.此外还需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速的关系等方面作出简化且合理的假定，才能运用合适的物理定律建立需要的模型。
模型假设
1.各种艇的几何形状相同，$l/b$l/b为常数；艇重$w_0$w0​与桨手数$n$n成正比。这是艇的静态特性。
2.艇速$v$v是常数，前进时受的阻力$f$f与$sv^2$sv2成正比($s$s是艇浸没部分面积)。这是艇的动态特性。
3.所有桨手的体重都相同，记作$w$w；在比赛中每个桨手的划桨功率$p$p保持不变，且$p$p与$w$w成正比。
假设1是根据所给数据作出的必要且合理的简化。根据物理学的知识，运动速度中等大小的物体所受阻力$f$f符合假设2中$f$f与$sv^2$sv2成正比的情况。假设3中$w$w，$p$p为常数属于必要的简化，而$p$p与$w$w成正比可解释为：$P$P与肌肉体积、肺的体积成正比，对于身材匀称的运动员，肌肉、肺的体积与体重$w$w成正比。



评注
这个模型建立在一些不太精细的假设的基础上，因为我们只关心各种艇之间的相对速度，所以数学工具只用到比例方法。用这种方法建模虽然不能得到关于艇速的完整的表达式，但是对于我们的建模目的来说已经足够了。