了解计算机各进制及其转换关系

一、计数系统

在基数b的位置记数系统(其中b是一个正自然数，叫做基数)，b个基本符号(或者叫数字)对应于包括0的最小b个自然数。一般来讲，b进制系统中的数有如下形式：
$(a_na_{n-1}\cdots a_1a_0.c_1c_2c_3\cdots)_b=\sum_{k=0}^na_kb^k+\sum_{k=1}^{\infty}c_kb^{-k}，其中数b^k和b^-k是相应数字的比重$

二进制数据的位置计数法
对于有n位整数，m位小数的二进制数据用加权系数展开式表示，可写为：
$(a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\cdots a_{-m})_2=a_{n-1}\times2^{n-1}+a_{n-2}\times2^{n-2}+\cdots+a_1\times2^1+a_0\times2^0+a_{-1}\times2^{-1}+a_{-2}\times2^{-2}+\cdots +a_{-m}\times2^{-m}$
二进制数据一般可写为：
【例】：将二进制数据111.01写成加权系数的形式
$1\times2^2+1\times2^1+1\times2^0+0\times2^{-1}+1\times2^{-2}$

二、通用进制转换

余数定理（Polynomial remainder theorem）是指一个多项式除以一个线性多项式(x-a)的余数是 f(a)。若f(a)=0，则(x-a)为多项式f(x)的因式。例如，(5x³+4x²-12x+1)/(x-3) 的余式是 5·3³+4·3²-12·3+1=136

不同进制之间的转换本质就是确定各个不同权值位置上的数码。转换正整数的进制的有一个简单算法，就是通过用目标基数作长除法；余数给出从最低位开始的“数字”
【例】1020304从10进制转到7进制：
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【例】10110111 从2进制到5进制：

三、二进制（Binary）

1679年德国数学家莱布尼茨发现二进制并完善了二进制系统，在数字电路中值得是以2为基数的记数系统逻辑门的实现使得二进制被应用于计算机技术中,每个数字被称为一个比特（Bit，Binary digit)

1、计算机采用二进制的原因

二进制仅有两个数码（0和1），任何具有两个不同稳定状态的元件都可以用二进制数码来表示，如开关的“开”、“关”，电压“高”、“低”，纸带“有孔”、“无孔"，电路”有信号“、”无信号“，磁性材料”南极“、北极”等，这两种稳定状态在在质与量上差别明显，该特性大大提高机器的抗干扰性，提高数据的可靠性
二进位计数制四则运算规则简单可归结与加法运算和移位，使得电子计算机中的运算线路变得简单
采用二进制表示数可以节省设备
可以用布尔代数来分析综合机器中的逻辑线路

2、二进制四则运算

二进制加法的四种情况：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10（满二进一）
二进制减法有四种情况：0-0=0，1-0=1，0-1=1，1-1=0
二进制乘法有四种情况： 0×0=0，1×0=0，0×1=0，1×1=1
二进制除法有两种情况(除数只能为1)：0÷1=0，1÷1=1
两个二进制数1001与0101的算术运算：
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3、二进制数的转换

二进制转换为十进制
方法：按权展开求和”，该方法的具体步骤是先将二迸制的数写成加权系数展开式，而后根据十进制的加法规则进行求和
【例】： $(1011)_2=1\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+1\times2^0=(11)_{10}$
二进制转换为十六进制
二进制转换成十六进制的方法是，取四合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（或向右）每四位取成一位
【例】100101111010001B转换为二进制数
$1001->9 \quad 0111->7\quad 1101->B\quad 0001->1\quad 故该该数十六进制为：97B1H$
**注意：**在向左（或向右）取四位时，取到最高位（最低位）如果无法凑足四位，就可以在小数点的最左边（或最右边）补0，进行换算
【例】10111.011B转换成十六进制
$0001->1\quad 0111->7\quad 0110->6\quad 该数十六进制表示为17.6H$

四、十进制（Decimal)

人类算数采用十进制，可能跟人类有十根手指有关。亚里士多德称人类普遍使用十进制，只不过是绝大多数人生来就有10根手指这样一个事实的结果

整数部分	小数部分
10^0（十的零次方）一
10^1 十	10-1 分
10^2百	1^-2厘
10^3千	10^-3毫
10^4万	10^-4丝
10^5十万	10^-5忽
10^6百万（兆）	10^-6微
10^9十亿（吉）	10^-9尘（纳）
10^太	10^-12 漠（皮）

1、十进制数转换为二进制数

由于整数和小数的转换方法不同，所以先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换后，再加以合并

十进制整数转换为二进制整数十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余，逆序排列"法。具体做法是：用2去除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为零时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来
十进制小数转换为二进制小数
十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整，顺序排列"法。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止

2、十进数转换成十六进制数

采用余数定理进行分解，例如将 $4877_{10}$ 转成十六进制：

4877÷16=304…13(D)

304÷16=19…0

19÷16=1…3

1÷16=0…1

这样就得到487710=130DH

五、十六进制（Hexadecimal）

十六进制（简写为hex或下标16）在数学中是一种逢16进1的进位制。一般用数字0到9和字母A到F（或a_{f）表示，其中:A}F表示10~15，这些称作十六进制数字
在历史上，中国曾经在重量单位上使用过16进制，比如，规定16两为一斤。如今的16进制则普遍应用在计算机领域，这是因为将4个位元（Bit）化成单独的16进制数字不太困难。1字节可以表示成2个连续的16进制数字。可是，这种混合表示法容易令人混淆，因此需要一些字首、字尾或下标来显示

1、十六进制的表示

其中最常用（或常见）表示十六进制数值的方式是将 ‘0x’ 加在数字前，或在数字后加上小字 16。例如 0x2BAD 和 2BAD16都是表示十进制的11181（或1118110）
在网页设计上十六进制是很常用的，HTML和CSS使用十六进制的表示法来表示网页上的特定颜色。使用 # 的符号来表示而非用个别的符号表示十六进制。24-bit 颜色可以用 #RRGGBB 的格式来表示，RR 是颜色中红色成分的数值，GG 是颜色中绿色成分的数值，BB 颜色中蓝色成分的数值。举个例子, 红色的阴影是十进制 238,9,63 可以编成 #EE093F

2、十六进制数转换为二进制数

十六进制数转为二进制数，方法就是一分四，即一个十六进制数分成四个二进制数，用四位二进制按权相加，最后得到二进制，小数点依旧就可以采用该方法
【例】BF4.B5转换成二进制数
$B->1011\quad F->1111\quad 4->0100\quad B->1011\quad 5->0101，故该数为1011\quad1111\quad0100\quad.1011\quad0101$

3、十六进制数转换成十进制数

$B->1011\quad F->1111\quad 4->0100\quad B->1011\quad 5->0101，故该数为1011\quad1111\quad0100\quad.1011\quad0101$

3、十六进制数转换成十进制数

将十六进制数写成权系数展开式，然后对该展开式进行求和即可