2018江苏高考数学第16题计算量大不大你自己看着办

2018江苏高考数学在一片简单、计算量大的喧闹声中落下帷幕。历年来，“数学帝”、“难”、“创新”、“数列”早已给江苏高考数学打上了固有标签，考前考后都受到无数江苏非江苏考生的关注，成为了难易评判的一个衡量标准.
今年很多同学所谓的计算量大因素之一便是第16题，知道公式，你都能算的出来.当然，选对了方法简便省时间；方法选偏了，多算会.

16.已知α,β$\alpha ,\beta$为锐角,tanα=43,cos(α+β)=−5–√5.$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{4}{3}},\cos (\alpha +\beta )=-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}.$
(1)求cos2α$\cos 2\alpha$的值;
(2)求tan(α−β)$\tan (\alpha -\beta )$的值.

我的思路：

利用万能置换公式直接计算(1)，
利用α−β=2α−(α+β)$\alpha -\beta =2\alpha -(\alpha +\beta )$ 以及两角差的正切公式计算(2)
具体解法：

(1)cos2α=1−tan2α1+tan2α$(1)\cos 2\alpha ={\displaystyle \frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }}$=1−(43)21+(43)2$={\displaystyle \frac{1-(\frac{4}{3}{)}^2}{1+(\frac{4}{3}{)}^2}}$=−725$=-{\displaystyle \frac{7}{25}}$

Tips:这个公式是万能置换，类似的还有 sin2α=2tanα1+tan2α$\sin 2\alpha ={\displaystyle \frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }}$
tan2α=2tanα1+tan2α$\tan 2\alpha ={\displaystyle \frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }}$

(2)α,β$\alpha ,\beta$为锐角，∴2α,α+β$\therefore 2\alpha ,\alpha +\beta$为钝角,
∴tan2α<0,tan(α+β)<0.$\therefore \tan 2\alpha <0,\tan (\alpha +\beta )<0.$
tan2α=−1cos22α−1−−−−−−−−−−√$\tan 2\alpha =-\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}2\alpha }}-1}$ =−(−257)2−1−−−−−−−−−√=−247,$=-\sqrt{(-{\displaystyle \frac{25}{7}}{)}^2-1}=-{\displaystyle \frac{24}{7}},$
tan(α+β)=−1cos2(α+β)−1−−−−−−−−−−−−−√$\tan (\alpha +\beta )=-\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2(\alpha +\beta )}}-1}$=−5−1−−−−√=−2,$=-\sqrt{5-1}=-2,$
然后根据α−β=2α−(α+β)$\alpha -\beta =2\alpha -(\alpha +\beta )$求出
tan(α−β)=tan[2α−(α+β)]=tan2α−tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)$\tan (\alpha -\beta )=\tan [2\alpha -(\alpha +\beta )]={\displaystyle \frac{\tan 2\alpha -\tan (\alpha +\beta )}{1+\tan 2\alpha \tan (\alpha +\beta )}}$
=−247−(−2)1+(−247)(−2)$={\displaystyle \frac{-\frac{24}{7}-(-2)}{1+(-\frac{24}{7})(-2)}}$=−211$=-{\displaystyle \frac{2}{11}}$

Tips: 利用构造直角三角形法来求三角函数值是比较简便的，在求两个正切值的时候也可以这样做：先求函数值的绝对值，


再根据已经判断好的正负添加符号.

当然记住常见的整数勾股数也可以加快解题的速度，比如

3578911⋯41224154960⋯51325174161⋯$$\begin{array}{ccc}3& 4& 5\\ 5& 12& 13\\ 7& 24& 25\\ 8& 15& 17\\ 9& 49& 41\\ 11& 60& 61\\ \cdots & \cdots & \cdots \end{array}$$

还可以先求出正弦，再用公式求出正切.
α,β$\alpha ,\beta$为锐角，∴2α,α+β$\therefore 2\alpha ,\alpha +\beta$为钝角,
∴sin2α>0,sin(α+β)>0.$\therefore \sin 2\alpha >0,\sin (\alpha +\beta )>0.$
∵cos2α=−725,cos(α+β)=−5–√5,$\because \cos 2\alpha =-{\displaystyle \frac{7}{25}},\cos (\alpha +\beta )=-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}},$
∴sin2α=1−cos22α−−−−−−−−−√=2425,$\therefore \sin 2\alpha =\sqrt{1-{\cos }^{2}2\alpha }={\displaystyle \frac{24}{25}},$
sin(α+β)=1−cos2(α+β)−−−−−−−−−−−−√=25–√5.$\sin (\alpha +\beta )=\sqrt{1-{\cos }^2(\alpha +\beta )}={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}.$
tan2α=sin2αcos2α=−247,$\tan 2\alpha ={\displaystyle \frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }}=-{\displaystyle \frac{24}{7}},$
tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=−2.$\tan (\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}}=-2.$其它同上.

总之，本题的关键点在于通过已知条件能够找到要求的角与已知的角之间的关系，在利用三角函数值恒等式求值时，选择合适的公式，以及合适的转化会起到事半功倍的效果，能提高解题速度，保证解题质量.