number theory 基础数论

• Divisibility and divisors
• Prime and composite numbers
• Common divisors and greatest common divisors
• Relatively prime integers
• Unique factorization
• 最大公约数
• Modular arithmetic
  • The groups defined by modular addition and multiplication

一个算法，输入为整数 a1,a2,... 被称为 polynomial-time algorithm 如果它的时间复杂度为 lga1,lg12,...的多项式，也就是说， polynomial in the lengths of its binary encoded inputs。意思就是和 二进制编码 的长度 ，为多项式关系。

我们把 乘，除，mod，看作 one unit of time. 当输入非常大的时候，这些操作也会变的 更加费时，因此应该计算一个算法需要多少 bit operations

将两个β长度的数相乘，需要 θ(β2)

Divisibility and divisors

d | a ：d divides a, 当 a = kd，k是整数，也说a是d的 multiple

Prime and composite numbers

质数／素数：质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数称为质数。

Theorem (Division theorem)
对于任意整数a和正整数n，存在唯一的整数 q 和 r, such that 0≤r<n 并且 a = qn + r 。
也就是说 对于每个数，都是 两个数的乘积 加上一个数

因此我们可以把整数分为 n 类，根据它的余数。

Common divisors and greatest common divisors

公约数和最大公约数

Relatively prime integers

整数a和b互质，如果它们公约数只有 1

Unique factorization

最大公约数

Euclid’s 算法基于以下定理

证明通过证明 两个数互相整除，得到两个数相等。

Euclid’s algorithm

算法的时间复杂度。

用数学归纳法证明

Modular arithmetic

一个集合和一个操作定义了一个 group 它满足 自闭，存在一个 identity， 结合性，存在逆（类似于 域 的概念）

如果它还附和 交换律 那么称为 abelian group

The groups defined by modular addition and multiplication

用 x mod n代替原来的x