张量与散度

张量的几个物理场景

应力状态

材料内部受力状况就是应力状态，应力在不同方向的大小不同，并且与感应面有关。如图所示材料某点的应力状态，可用矩阵表示
$\sigma=\begin{pmatrix} \sigma_x&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\ \tau_{yx}&\sigma_y&\tau_{yz}\\ \tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_z \end{pmatrix}$σ=⎝⎛​σx​τyx​τzx​​τxy​σy​τzy​​τxz​τyz​σz​​⎠⎞​
这是个对称矩阵，即$\tau_{xy}=\tau_{yx},\tau_{xz}=\tau_{zx},\tau_{yz}=\tau_{zy}$τxy​=τyx​,τxz​=τzx​,τyz​=τzy​
现在已知某任意平面，那么怎么求该平面上的应力状态呢?如下图所示，以平面示意
红色的箭头是该平面的总的应力，该总应力可以分解成垂直于平面的正应力和平行于平面的切应力。若已知平面的法矢为$n=(n_x,n_y,n_z)$n=(nx​,ny​,nz​)，其总应力计算如下
$\sigma'=n\cdot \sigma=(n_x,n_y,n_z) \begin{pmatrix} \sigma_x&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\ \tau_{yx}&\sigma_y&\tau_{yz}\\ \tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_z \end{pmatrix}$σ′=n⋅σ=(nx​,ny​,nz​)⎝⎛​σx​τyx​τzx​​τxy​σy​τzy​​τxz​τyz​σz​​⎠⎞​
那么正应力为
$\sigma'_n=\sigma'/n\cdot n=\sigma'\cdot n\cdot n\\=(n_x,n_y,n_z) \begin{pmatrix} \sigma_x&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\ \tau_{yx}&\sigma_y&\tau_{yz}\\ \tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n_x\\n_y\\ n_z \end{pmatrix}(n_x,n_y,n_z)$σn′​=σ′/n⋅n=σ′⋅n⋅n=(nx​,ny​,nz​)⎝⎛​σx​τyx​τzx​​τxy​σy​τzy​​τxz​τyz​σz​​⎠⎞​⎝⎛​nx​ny​nz​​⎠⎞​(nx​,ny​,nz​)
切应力的为
$\sigma'_\tau=\sigma'\div n=\sigma'-\sigma'_n$στ′​=σ′÷n=σ′−σn′​

转动惯量

一个物体的转动，和平移一样，也存在惯性。转动惯量就是衡量这个惯性的大小。对于规则的物体，其转动比较容易求得，如下图所示
该立方块绕$x$x轴的转动惯量为$J_x$Jx​，绕$y$y轴的转动惯量为$J_y$Jy​，绕$z$z轴的转动惯量为$J_z$Jz​。那么如何求得其绕任意轴$n$n的转动惯量$J'$J′，如图红色所示。转动惯量也是一种张量，其数学形式如下
$J=\begin{pmatrix} J_x&0&0\\0&J_y&0\\ 0& 0&J_z \end{pmatrix}$J=⎝⎛​Jx​00​0Jy​0​00Jz​​⎠⎞​
那么绕$n$n的总转动惯量计算如下
$J'=n\cdot J=(n_x,n_y,n_z)\begin{pmatrix} J_x&0&0\\0&J_y&0\\ 0& 0&J_z \end{pmatrix}$J′=n⋅J=(nx​,ny​,nz​)⎝⎛​Jx​00​0Jy​0​00Jz​​⎠⎞​
总的转动惯量到转轴的投影就是绕这个轴的转动惯量
$J'_n=J'/n\cdot n$Jn′​=J′/n⋅n
总的转动惯量垂直于这个轴的投影为
$J'_\tau=J'\div n$Jτ′​=J′÷n
有个疑问，为什么会有这个垂直的转动惯量。这是因为，在物体转动的时候，两端会甩开远离轴，或者聚拢越来越接近轴，而这个转动的转动惯量就是总转动惯量垂直于这个轴的分量。

各向异性的感应电场

我们知道，一个电荷在真空中形成的电场是向各个方向发散，并且每个方向等强度，即等势面是球形。但如果在物质内部呢?这个电荷在物质内部形成的是感应电场(也常称为电位移矢量)，并且由于很多物质都是各向异性的，也就是说电荷在不同方向的感应效果不一样，所以等势面试是椭球，如下图所示

其实所有三维张量都可以用椭球表示，二维张量可以用椭圆表示。
电荷在真空发出的电场为
$E=\frac{Q}{4\pi r^2}\begin{pmatrix} \epsilon&0&0\\0&\epsilon&0\\0&0&\epsilon \end{pmatrix}$E=4πr2Q​⎝⎛​ϵ00​0ϵ0​00ϵ​⎠⎞​
电荷在各向异性物质内感应的电场为
$D=\frac{Q}{4\pi r^2}\begin{pmatrix} \epsilon_{xx}&\epsilon_{xy}&\epsilon_{xz}\\\epsilon_{yx}&\epsilon_{yy}&\epsilon_{yz}\\\epsilon_{zx}&\epsilon_{zy}&\epsilon_{zz} \end{pmatrix}$D=4πr2Q​⎝⎛​ϵxx​ϵyx​ϵzx​​ϵxy​ϵyy​ϵzy​​ϵxz​ϵyz​ϵzz​​⎠⎞​
该式中的矩阵为对称矩阵，即$\epsilon_{xy}=\epsilon_{yx},\epsilon_{xz}=\epsilon_{zx},\epsilon_{yz}=\epsilon_{zy}$ϵxy​=ϵyx​,ϵxz​=ϵzx​,ϵyz​=ϵzy​。矩阵中$\epsilon_{ij}=\epsilon^r_{ij}\epsilon$ϵij​=ϵijr​ϵ，其中$\epsilon^r_{ij}$ϵijr​为方向$ij$ij的相对介电系数，所以任意方向的感应电场强度为
$D'=n\cdot D=(n_x,n_y,n_z)\begin{pmatrix} \epsilon_{xx}&\epsilon_{xy}&\epsilon_{xz}\\\epsilon_{yx}&\epsilon_{yy}&\epsilon_{yz}\\\epsilon_{zx}&\epsilon_{zy}&\epsilon_{zz} \end{pmatrix}$D′=n⋅D=(nx​,ny​,nz​)⎝⎛​ϵxx​ϵyx​ϵzx​​ϵxy​ϵyy​ϵzy​​ϵxz​ϵyz​ϵzz​​⎠⎞​
其大小为
$|D'|=D'/n=D'\cdot n=(n_x,n_y,n_z)\begin{pmatrix} \epsilon_{xx}&\epsilon_{xy}&\epsilon_{xz}\\\epsilon_{yx}&\epsilon_{yy}&\epsilon_{yz}\\\epsilon_{zx}&\epsilon_{zy}&\epsilon_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n_x\\n_y\\n_z \end{pmatrix}$∣D′∣=D′/n=D′⋅n=(nx​,ny​,nz​)⎝⎛​ϵxx​ϵyx​ϵzx​​ϵxy​ϵyy​ϵzy​​ϵxz​ϵyz​ϵzz​​⎠⎞​⎝⎛​nx​ny​nz​​⎠⎞​
这就是一个二次型，其图像就是椭球，所以说张量可以用椭球表示。

张量的散度

我们知道张量可以表示感应电场，其实他可以表示任意种不同方向不同大小和方向的场，也就是张量场。既然有场，那就有散度的概念。已知下面的张量
$M=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}$M=⎝⎛​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​⎠⎞​
那么该场为
$f=(x,y,z)\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}$f=(x,y,z)⎝⎛​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​⎠⎞​
散度有两种计算方式，一种是极限的计算方式
$div f=\lim_{v \to 0}\oint_{s}fds/v$divf=v→0lim​∮s​fds/v
还有一种方式为$div f=\nabla \cdot f=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}$divf=∇⋅f=∂x∂f​+∂y∂f​+∂z∂f​
采用第二种比较容易计算，那么张量场的散度为
$div f=\nabla \cdot f=a_{11}+a_{22}+a_{33}$divf=∇⋅f=a11​+a22​+a33​
也就是说张量的散度就是张量的迹，可知一个方阵无论经过什么样的相似变换，它的迹不变；也就是说场无论经过什么样的坐标变换，它的散度不变。