Calculus Made Easy 总结

引言

我看的这本 Calculus Made Easy 是已经修订过的版本，Martin Gardner 在这个版本中的开端新增加了3章，它们分别是函数、极限和导数。在这篇文章中，我不会去总结这3章的内容，原因如下：

1. 这3章并没有解释很多细节，都是一些基本的概念，我估计一个高中生都能知道里面大多的概念
2. 这3章里面并没有一些阐述刷新我的“微积分观”，没有什么值得记录下来的
3. 我本人并不建议大家去读这3章内容，你可以直接去读文章主体，如果有一些概念不懂可以去参考这3章

形像地解释微分和积分符号

在这章中，作者创造性地解释了2个“吓人”的数学符号 - d 和 ∫，大大刷新了我的“微积分观”！这里我想说明的是，如果在这之前你没有接触过微积分，你有可能看不明白这章或者你感受不到作者把概念解释的多么通俗易懂。本着负责任的态度，我不得不告诉大家的是，在读这本书之前，我已经完成了 Calculus One 这门课程。好了， 步入正题，下面是我对这章内容的总结和一些自己的想法。

在介绍书中的内容之前，先让我们看一张动态图片。图片来源： Riemann sum

现在想问大家一个问题：假设 Newton 或 Leibniz 还没有发明出微积分，我们如何求出上图中红线与 x 轴之间的面积？

正如上图所示的那样，我们可以把这个不规则的图形的面积拆分成很多个小的矩形面积，然后我们把这些矩形面积加到一起，就约等于我们想要求的面积。但是，我们如何准确地求出面积呢？想像一下，当我们把矩形的宽度划分成无限小的时候，我们是不是就可以准确地求出我们想要的面积了。学过积分的同学应该可以很容易地写出求出面积的公式吧！

∫20x2dx

但是我们如何解释上面的公式呢？接下来我给大家介绍一下书中的内容，相信大家看过以后就可以很容易地解释出上面公式的意思了！

符号 d 意味着 “a little bit of”. 我们可以认为它表示无限小。因此 dx 解释成 a little bit of x，即无限小的 x

对于符号 ∫ 来说，它看起来像一个长长的 S，因此，如果你喜欢的话，可以把它叫成 “the sum of”. 因此对于 ∫dx 来说，我们可以把它解释成 the sum of all the little bits of x. 这个解释太妙了！

现在让们解释一下上面的公式：

• x2 代表相应 x 位置的高度
• dx 代表无限小的 x

因此 x2dx 代表其中一个无限小矩形的面积，紧接着 ∫x2dx 代表所有这些小矩形面积的和。至此，我已经总结完所有相应的概念，相信大家也对此有了更深的了解。

可以忽略的“小”

作者在这个章节中解释了不同程度的“小”，小也是一种相对的概念。比如，100元对于一个亿万富翁来说，简直太小了; 但是，如果对于一个月收入只有1000元的人来说，它已经是一个很大的数目了。再举个例子，假如现在我手上有一个世界一级的精密计时器，一年内它的时间误差不会超过半分钟（一年内有1051200个半分钟），即它的误差范围在百万分之一内，因此对于这个计时器来说，11000000 是不可被忽视的量，我们称它为 small quantity. 但是，对于 small quantity of the second order of smallness （2个数量级的小量，即11000000000000）来说，我们是可以忽略它的。

因此，如果 small quantity of the first order 本身足够小，那么我们就可以忽略 small quantity of the second/third(or higher) order of smallness. 但是有一点值得注意的是，我们不能忽略一个 small quantity × factor(因数)，因为如果这个因数本身足够大的话，它们的乘积可能会变得足够大，从而达到不可忽略的地步。

相对变化

微积分是一门主要研究变化的学科，它研究变量之间的关系，变量之间是如何相互影响的。我们把所有的量分为2类：变量和常量，数学家们通常用字母表的开头（例如：a，b，c，d 等）去表示常量; 而用字母表的末端（例如：x，y，z，u，v，w 等）去表示变量。

接下来，我们一个例子来解释一下隐函数、显函数、自变量和因变量的概念。我们的例子函数为 yx=tan300

• 隐函数：上面的函数就是一个隐函数，因为我们既可以根据 y 去表达 x，也可以根据 x 去表达 y.
• 显函数：y=x∗tan300 或 x=ytan300
• 显函数的值叫做因变量，比如第2项的 y 或 x
• 其它的变量叫做自变量

上面我已经说了，微积分可以用来研究变量之间的关系，但是前提是变量之间要存在关系，如果它们之间没有关系，谈什么都没用，它们之间的关系叫做函数。如果 x, y z 之间存在关系，如果它们的关系已经明确被声明，我们可以写成，比如 x+y+z=1 ; 但是，如果它们之间的关系没有被声明，我们可以写成 F(x,y,z)=0(隐函数) 或 x=F(y,z)，y=F(x,z)，z=F(x,y)(显函数)。

我们在高中所学的代数都是找出一些未知的量，而现在我们进入了微积分的世界，我们主要来研究变量与变量之间的关系。假设我们现在有2个变量 x,y，它们之间存在的关系为 y=F(x). 那么在微积分的世界中，我们更关心的是dydx，即导数，但是有一点我们应该记住，只有当 dx 和 dy 接近无限小时，我们求出的值才是我们想要的值。导数听上去很吓人，但是它实际上很简单，其实就是变化率。

归纳出 power rule

假设我们没有学过 power rule，那么我们如何去求出指数函数的导数呢？下面先来一个简单点的例子：y=x2

我们如何求出 dydx 呢？其实，用我们上面学过的知识就可以很容易地把它求出来。首先我们可以例出下面的等式：

y+dy=(x+dx)2=x2+2x∗dx+(dx)2

由于 dx 本身就是一个 small quantity，所以我们可以忽略 (dx)2，由于它是 small quantity of the second order of smallness. 所以上面的式子可以变成：

y+dy=x2+2x∗dx把y替换成x2x2+dy=x2+2x∗dxdydx=2x

现在让我们用一个数值的例子来证明一下上面得出的结论是否正确。假设 x=5,dx=1，那么我们可以求出 dy=11, 进而枯得出 dydx=11. 大家可能觉得不对，答案应该是10啊，怎么能是11呢？别忘了我们上面说的假设，就是要让 dx,dy 接近于无限小。有兴趣的同学可以自己试试当 dx=0.0001 时，答案是什么。

为了总结出 power rule，书中给出了很多例子，包括指数为分数和负数的情况。其实方法都和我上面介绍的一样，只不过代数变得稍微复杂了一些，这里我就不多说了。power rule 如下：

xn的导数为：nxn−1

常量对于微分过程的影响

作者在这章中主要总结出 加 或 乖以 1个常量对于微分过程的影响。这是他同样用 归纳出 power rule 中的方法分别求出 加 和 乖以 1个常量的微分结果。这里我就只把结论写出来：

1. 加常量：在微分的过程中，我们可以直接把它忽略掉
2. 乘以常量：把先前没乖上常量的微分结果乘上常量

这个道理很容易理解。假如我现在有个函数，y=x ，然后我现在把这个函数乖上 6 或 加上 6，结果分别为 y=6x 或 y=x+6，那么你认为哪个函数的斜率变了呢？

如何对2个或更多的函数的加，减，乘和除进行微分

作者在这个章节中主要来推导出著名的 sum rule, difference rule, product rule, 和 quotient rule. 下面我只给大家演示一下如何推导出来的 sum rule, 对于 difference rule 来说，主要是计算量比较大，技巧上没什么难的。

让 y=u+v, 其中 u 和 v 可以是任意一个关于 x 的函数，现在我让 x 增加到 x+dx，让 y 增加到 y+dy; 那么 u 将会增加到 u+du，而 v 将会增加到 v+dv，因此我们将有如下推导：

y+dy=u+du+v+dv由于y=u+vdy=du+dv等式两边分别除以dxdydx=dudx+dvdx

上面我已经推导出 sum rule 了，很简单吧！这里面我想强调的是，对于推导 quotient rule 的时候， 比如 y+dy=u+duv+dv 我是直接把除数乖到等式的左面，然后一步步进行推导的。

剩下的法则我就不一一推导了，直接给结论了，就是这么简单粗暴！

• difference rule (y=u−v) : dydx=dudx−dvdx
• product rule(y=u∗v) : dydx=udvdx+vdudx
• quotient rule(y=uv) : dydx=vdudx−udvdxv2

连续地求导

假设我们有个函数 $y=f(x) ，下面的过程是对它连续求导：

1. dydx=f′(x)
2. d(dydx)dx=f′′(x)
3. ……

对于上面的2阶导来说，我们有更简便的写法，d2y(dx)2 或 d2ydx2

当时间作为自变量时

这个章节中其实并没有什么新鲜的内容，主要都是在解决一些以时间为自变量的问题上。作者在这章中大量地使用到 rate 这个单词，下面是作者对它的定义：

The rate at which one quantity is changing in relation to the other quantity is properly expressed, then, by stating the derivative of one with respect to the other.

在这章中，作者用了很多物理学中的重要概念来阐述以时间为自变量的问题，比如，位移、速度、加速度、动量和做功等，下面我把作者的整个思路总结下来。

假设位移 y 与时间 t 存在着某种函数关系，记作 y=f(t). 如果大家没有忘记高中所学过的物理知识，应该记得速度分为瞬时速度和平均速度，如果某个物体在移动的过程中保持速度不变，那么任何一点的瞬时速度都等于平均速度。但是，如果速度变化呢？我们应该如何用上面给出的函数来表达瞬时速度呢？其实，通过我们学过的微分就可以很容易做到。在任何给定的一段非常小的时间段 dt 内，位移是dy，我们可以认为速度是保持不变的，因此瞬时速度可以记作：

v=dydt

同样，我们也可以写出加速度的表达公式：

a=dvdt=ddt(dydt)=d2ydt2

想要给一个重为 m 的物体加速，我们需要作用力 f，记作：

f=ma=mdvdt=md2ydt2

动量是质量和速度的乖积，即 mv，如果我们把它对时间过导，可得到如下公式：

d(mv)dt=mdvdt=f

我们从上面的公式可以得出，作用力 f，既可以表示为质量和加速度的乖积，也可以表示为动量的变化率。

接下来，如果作用力使物体产生了位移，那么它就做功了，记作：

w=f∗y

上述公式中的 f 是常量，但是，如果在整个移动的过程中，f 始终在变化，那么应该如何去写表达式呢？技巧就是和上面写瞬时速度一样，我们可以把距离 y 微分化，这样在 dy 的这段距离内，我们可以认为 f 是不变的，因此得如下公式：

dw=f∗dy=ma∗dy=md2ydt2∗dy=mdvdt∗dyf=dwdy

目前为止，整个例子就结束了。从上面的例子中可以看出，我们给了 f 3种定义。

牛顿认为所有的 quantities that were varying as flowing; and the ratio which we nowadays call the derivative he regarded as the rate of flowing, or the fluxion of the quantity in question. If y was a quantity that varied, or “flowed”, then his symbol for its rate of variation(or “fluxion”) was y˙. y 上面的点告诉我们它已经被求导了。但是，这个记号并没有告诉我们是关于哪个自变量的导数。而比如，dydt，通过它我们可以知道 y 被求导是关于变量 t 的。因此，fluxional notation is less informing than the differential notation, 因此它并没有被大规模使用。但是，如果在我们的应用场景下，自变量只有时间 t，那么它的简化性就很有优势了。

chain rule

链式法则让我们更容易地求 composite function 的导数。假如现在我们有复合函数 y(u(x))，链式法则告诉我们：

d(y(u(x)))dx=dydx=dydu∗dudx

Khan Academy 用极限的手段证明出了链式法则为什么 work？

导数的几何含义

什么是斜率呢？ 维基百科给出了如下的定义：

In mathematics, the slope or gradient of a line is a number that describes both the direction and the steepness of the line.

相信每个高中生都可以求出一条直线的斜率吧！但是，我们如何去求出曲线的斜率呢？其实我觉这个问题本身就存在问题，因为对于一条曲线来说，它存在很多斜率。因此，我应该换一种问法，我们应该如何去求出曲线各个点的斜率呢？

对于上图来说，如果 QT 之间是一条直线，那么我们可以很容易就求出斜率，可以表示成 dydx，但不幸的是，它们之间是一条曲线。但是，当 dx 逐渐接近无限小的时候，我们可以认为 QT 之间就是一条直线，因此 dydx 就可以表示 QT 之间的斜率，同样它也是在点 Q 的切线的斜率。

因此，我们可以总结出，对于任意函数 f(x)，它的导数 dydx 可以表示任意一点的切线的斜率。

sines 和 cosines

作者在这章主要是推导出 sines 和 cosines 的导数。下图是一个单位圆，因此我们可以得出要如下式子：

y+dy=sin(θ+dθ)

通过一些代数和三角函数的一些变换，我们就可以求出 sin(θ) 的导数; 由于 cos(θ)=sin(π2−θ)，因此我们又可以推导出它的导数; 由于tan(θ)=sin(θ)cos(θ)，从而我们也可以很容易地求出它的导数。 sines 和 cosines 也是唯一的函数，它们的二阶导数与它本身的符号相反。

现在让我们求一下 sin 的反函数的导数，即 y=arcsin(x)，接着可以得出 x=sin(y)，那么 dxdy=cos(y)，因此，dydx=1cos(y)

由于 −π2≤y≤π2，所以 cos(y) 是正的，所以cos(y)=1−sin2y−−−−−−−−√=1−x2−−−−−√，最后 dydx=1cos(y)=11−x2√