010指北方位惯导系统的力学编排之平台的指令角速度

一、指令角速度

如图所示，在位置A时，惯性平台（红色）平行于水平面。但是到达B位置后，水平面发生改变，如果平台不改变，那么就不再平行于水平面。要使其平行，惯性平台在飞机飞行时必须要得到一个角速度的命令，根据水平面的改变不断调整，始终平行于水平面。那么这个角速度的命令就是指令角速度。

二、坐标系

在指北方位惯导系统中，以地理坐标系（g系）为导航坐标系，即T系相对于惯性系的角速度 = g系相对于惯性系的角速度。

ω⃗ iT=ω⃗ ig$${\overrightarrow{\omega }}_{iT}={\overrightarrow{\omega }}_{ig}$$

三、指令加速度的推导

计算是在导航坐标系中进行，所以要把角速度投影到T系（或g系）。

首先，g系相对于i系的角速度可以分解为两部分：
跟随地球旋转的角速度ω⃗ ie${\overrightarrow{\omega }}_{ie}$；
飞机运动产生的相对于地球的旋转角速度ω⃗ eg${\overrightarrow{\omega }}_{eg}$。

ω⃗ ig=ω⃗ ie+ω⃗ eg$${\overrightarrow{\omega }}_{ig}={\overrightarrow{\omega }}_{ie}+{\overrightarrow{\omega }}_{eg}$$

跟随地球自转的角速度其实就是地球的自转角速度。可以这么想，你站在地球上不动，你相对惯性系的角速度就是地球的自转角速度。如果你跑起来，你相对惯性系的角速度，不仅有地球自转角速度，还有你相对地球的角速度。

1、跟随地球旋转的角速度

再说一遍，跟随地球自转的角速度其实就是地球的自转角速度。

下面将地球的自转角速度投影到g系。

如图所示，圆圈表示子午圈。
从该平面看来，
S$S$点垂直纸面向里为地理系东向，
ω⃗ iecosL${\overrightarrow{\omega }}_{ie}cosL$为地理系北向，
ω⃗ iesinL${\overrightarrow{\omega }}_{ie}sinL$为地理系天向。

根据右手规则地球自转角速度如ω⃗ ie${\overrightarrow{\omega }}_{ie}$方向，
那么它在东向的投影为0，
北向投影为ω⃗ iecosL${\overrightarrow{\omega }}_{ie}cosL$，
天向投影为ω⃗ iesinL${\overrightarrow{\omega }}_{ie}sinL$。
所以可得飞机跟随地球自转所产生的相对于惯性系的角速度在g系上的投影为：

ω⃗ Tie=ω⃗ gie=⎡⎣⎢0ωiecosLωiesinL⎤⎦⎥$${\overrightarrow{\omega }}_{ie}^T={\overrightarrow{\omega }}_{ie}^g=\left[\begin{array}{c}0\\ {\omega }_{ie}cosL\\ {\omega }_{ie}sinL\end{array}\right]$$

2、飞机运动产生的相对于地球的旋转角速度

该部分的角速度需要通过线速度来进行求解。假定飞机相对于地球的速度为：

V⃗ =⎡⎣⎢VEVNVU⎤⎦⎥$$\overrightarrow{V}=\left[\begin{array}{c}{V}_E\\ V_N\\ V_U\end{array}\right]$$

其产生的角速度为：

ω⃗ eg=⎡⎣⎢ωegxωegyωegz⎤⎦⎥$${\overrightarrow{\omega }}_{eg}=\left[\begin{array}{c}{\omega }_{egx}\\ {\omega }_{egy}\\ {\omega }_{egz}\end{array}\right]$$

投影到g系上为：

ω⃗ geg=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ωTegxωTegyωTegz⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥$${\overrightarrow{\omega }}_{eg}^g=\left[\begin{array}{c}{\omega }_{egx}^T\\ \\ {\omega }_{egy}^T\\ \\ {\omega }_{egz}^T\end{array}\right]$$

(1)飞机东向速度VE$V_E$产生的角速度

飞机的东向速度，即在上图中S$S$点垂直于纸面向里的方向，其角速度沿着纸面竖直向上。

如图所示，首先求得其角速度为：

ωegz=VERNcosL$${\omega }_{egz}=\frac{V_E}{R_{N}cosL}$$

东向速度，同一纬圈，半径应该为卯酉圈的曲率半径的余弦值：RNcosL$R_{N}cosL$

类比前面的跟随地球自转的角速度投影，可以得到东向速度在g系中的投影为:

ω⃗ geg=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢0VERNcosLcosLVERNcosLsinL⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢0VERNVERNtanL⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥$${\overrightarrow{\omega }}_{eg}^g=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ \frac{V_E}{R_{N}cosL}cosL\\ \\ \frac{V_E}{R_{N}cosL}sinL\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ \frac{V_E}{R_N}\\ \\ \frac{V_E}{R_N}tanL\end{array}\right]$$

(2)飞机北向速度VN$V_N$产生的角速度

飞机的北向速度，如下图所示。那么它产生的角速度方向向左，即VNRM$\frac{V_N}{R_M}$方向。或者在第二个图中，S$S$点垂直于纸面向外的方向。

那么北向速度产生的角速度只会在g系的x轴负方向产生投影。
首先求角速度：

ωegx=−VNRM$${\omega }_{egx}=-\frac{V_N}{R_M}$$

北向速度，同一经圈，半径应该为子午圈的曲率半径：RM$R_M$

再求北向速度产生的角速度在g系产生的投影，即：

ω⃗ geg=⎡⎣⎢⎢−VNRM00⎤⎦⎥⎥$${\overrightarrow{\omega }}_{eg}^g=\left[\begin{array}{c}-\frac{V_N}{R_M}\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

(3)飞机天向速度VU$V_U$产生的角速度

飞机的天向速度，因为不会绕地球相对转动，所以不会产生角速度，所以：

ω⃗ geg=⎡⎣⎢000⎤⎦⎥$${\overrightarrow{\omega }}_{eg}^g=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

综上，飞机相对地球的旋转角速度在g系的投影为：

ω⃗ geg=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢−VNRMVERNVERNtanL⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥$${\overrightarrow{\omega }}_{eg}^g=\left[\begin{array}{c}-\frac{V_N}{R_M}\\ \\ \frac{V_E}{R_N}\\ \\ \frac{V_E}{R_N}tanL\end{array}\right]$$

所以得到指令角速度：

ω⃗ TiT=ω⃗ gig=ω⃗ gie+ω⃗ geg=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢−VNRMωiecosL+VERNωiesinL+VERNtanL⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥$${\overrightarrow{\omega }}_{iT}^T={\overrightarrow{\omega }}_{ig}^g={\overrightarrow{\omega }}_{ie}^g+{\overrightarrow{\omega }}_{eg}^g=\left[\begin{array}{c}-\frac{V_N}{R_M}\\ \\ {\omega }_{ie}cosL+\frac{V_E}{R_N}\\ \\ {\omega }_{ie}sinL+\frac{V_E}{R_N}tanL\end{array}\right]$$

END