MVG读书笔记——射影变换的校正（一）

仿射变换中的固定直线

上一节讲到，无限远处直线经过射影变换可能变成有限处直线，而对于仿射变换则不会出现这种情况。这是由仿射变换的性质决定的，证明如下：

l′∞=H−TAl∞=[A−T−tTA−T01]⎡⎣⎢⎢001⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢001⎤⎦⎥⎥=l∞

可以看出，l∞在（事实上仅在）仿射变换下是一条固定的直线（它上面的点并不是固定的，这里不多赘述）。

消失线

假设我们知道无穷远处的直线投影后得到的直线为l=[l1,l2,l3]T则将l映射回无穷远处的射影变换为

H=HA⎡⎣⎢⎢10l101l200l3⎤⎦⎥⎥

其中HA是任意的仿射变换。由l∞在仿射变换下不变，所以对于任意仿射变换H是等价的。因此，只需找到投影后图像中无穷远处直线所在位置，就能恢复图像的仿射性质。

我们把变换前的平面（称为世界平面）的无穷远处直线在透视图像的投影称为消失线。它可以通过求平行直线投影后的交点（称为消失点）得到。如图

显然图中的瓷砖边缘是平行的，由此可以得到消失线上的两点，从而得到消失线。

另外，由于仿射变换不改变图像 我们也可以由直线上的比例关系得到消失点。
如图所示，相邻瓷砖的长和高是固定的，由此可以确定消失点。具体做法则不在这里多说。

从射影变换中恢复图像的仿射性质

如上所述，由消失线可以恢复图像的仿射性质，即直线平行性，平行线段比例等。以上面的图为例，使用先验信息求得消失线，从而恢复出的图像如下：

可以看到瓷砖之间恢复了平行关系。