轻松理解超平面

前言

定义：
1、超平面是指n维线性空间中维度为n-1的子空间。它可以把线性空间分割成不相交的两部分。比如二维空间中，一条直线是一维的，它把平面分成了两块；三维空间中，一个平面是二维的，它把空间分成了两块。
2、法向量是指垂直于超平面的向量。

过原点的超平面

假设在R³空间中，有一个过原点的超平面，其法向量为$\vec{\omega}$ω（$\omega$ω₁,$\omega$ω₂,$\omega$ω₃），过原点的平面内任意原点出发的向量$\vec{x}$x，必有$\omega$ω^Tx = 0。
故超平面公式为：$\omega$ω^Tx = 0

非过原点的超平面

假设在R³空间中，有一个经过原点的超平面上下平移后的超平面，其法向量为$\vec{\omega}$ω（$\omega$ω₁,$\omega$ω₂,$\omega$ω₃），此时$\omega$ω^Tx = 0就不成立了。令超平面上有两点，它与原点分别组成向量x(x₁,x₂,x₃)和向量x$\prime$′(x$\prime$′₁,x$\prime$′₂,x$\prime$′₃)，不难看出平面上两点组成的向量必与法向量垂直。可得：

$(x-x\prime) \omega = (x_1- x\prime_1,x_2- x\prime_2,x_2- x\prime_3)（\omega_1,\omega_2,\omega_3）= 0$(x−x′)ω=(x1​−x′1​,x2​−x′2​,x2​−x′3​)（ω1​,ω2​,ω3​）=0

化简后可得：
$x_1*\omega_1 + x_2*\omega_2+ x_3*\omega_3 = x\prime_1*\omega_1 + x\prime_2*\omega_2+ x\prime_3*\omega_3$x1​∗ω1​+x2​∗ω2​+x3​∗ω3​=x′1​∗ω1​+x′2​∗ω2​+x′3​∗ω3​

$\omega^Tx = \omega^Tx\prime$ωTx=ωTx′

令 b = $\omega$ω^T x $\prime$′，则可得
$\omega^Tx + b = 0$ωTx+b=0

即最后超平面方程是 $\omega$ω^Tx + b = 0

点到超平面的距离

假设平面外一点x到超平面距离为d，即上图的红线长度。上图的$\theta$θ是向量xx $\prime$′和红线距离的夹角。故可得：
$\cos \theta = \frac{ d }{ || x - x\prime|| }$cosθ=∣∣x−x′∣∣d​
又因为红线和超平面法线平行，故向量xx $\prime$′和法线夹角也为$\theta$θ。故|(x - x $\prime$′)*$\omega$ω| = ||$\omega$ω|| * ||(x - x $\prime$′)|| * $\cos$cos $\theta$θ，联立两个方程，可得

$d = \frac{ |(x-x \prime) \omega| }{ || \omega|| } = \frac{ | \omega x- \omega x \prime | }{ || \omega|| } = \frac{ | \omega x+b| }{ || \omega|| }$d=∣∣ω∣∣∣(x−x′)ω∣​=∣∣ω∣∣∣ωx−ωx′∣​=∣∣ω∣∣∣ωx+b∣​