5对角化与Jordan标准型

对角化与Jordan标准型

• 1正规矩阵
• 1.1实对称矩阵与厄米矩阵
• 1.2正交矩阵和酉矩阵
• 1.3正交相似变换和酉相似变换
• 1.4正规矩阵
• 1.5相似矩阵具有相同的特征多项式$\rightarrow$→相同的特征值、迹、行列式
• 2酉对角化
• 2.1$Schur$Schur引理
• 2.2定理
• 3$Jordan$Jordan标准型

1正规矩阵

1.1实对称矩阵与厄米矩阵

实对称矩阵：实矩阵$A$A $A^T=A$AT=A
厄米矩阵：复矩阵$A$A $A^H=A$AH=A
实反对称矩阵：实矩阵$A$A $A^T=-A$AT=−A
反厄米矩阵：复矩阵$A$A $A^H=-A$AH=−A

1.2正交矩阵和酉矩阵

正交矩阵：实矩阵 $A^TA=AA^T=I\ \ \ (A^{-1}=A^T)$ATA=AAT=I   (A−1=AT)
酉矩阵：复矩阵 $A^HA=AA^H=I\ \ \ (A^{-1}=A^H)$AHA=AAH=I   (A−1=AH)

1.3正交相似变换和酉相似变换

$P$P为正交矩阵，$A$A为实矩阵，$P^{-1}AP$P−1AP为对$A$A的正交相似变换
$P$P为酉矩阵，$A$A为复矩阵，$P^{-1}AP$P−1AP为对$A$A的酉相似变换

1.4正规矩阵

实矩阵$A$A,若满足$A^TA=AA^T$ATA=AAT,则称其为实正规矩阵
复矩阵$A$A,若满足$A^HA=AA^H$AHA=AAH,则称其为复正规矩阵
显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵；
厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。

1.5相似矩阵具有相同的特征多项式$\rightarrow$→相同的特征值、迹、行列式

$det(\lambda I-P^{-1}AP)=det(\lambda P^{-1}IP-P^{-1}AP)=det(P^{-1}(\lambda I-A)P)=det(P^{-1})det(\lambda I-A)det(P)=det(\lambda I-A)$det(λI−P−1AP)=det(λP−1IP−P−1AP)=det(P−1(λI−A)P)=det(P−1)det(λI−A)det(P)=det(λI−A)

2酉对角化

2.1$Schur$Schur引理

设数$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$λ1​,λ2​,...,λn​是$n$n阶方阵$A$A的特征值，则存在酉矩阵$U$U，使

证明：将$U$U化为$A$A特征向量组成的矩阵，可以自然的证明出来




进一步的，我们思考，任意一个满秩的方阵可以化为上三角矩阵，那么什么形式的矩阵可以更进一步，化为对角矩阵呢？

2.2定理

$n$n阶方阵$A$A，酉相似于对角阵的充要条件是：$A$A为正规阵（实或复）。
利用$A$A是正规矩阵，求上三角矩阵$\Lambda\Lambda^H和\Lambda^H\Lambda$ΛΛH和ΛHΛ相等，便可得知上三角的其余值均为0

3$Jordan$Jordan标准型

简述求法，原理就不细说了

1. 求不变因子$d_i(\lambda)$di​(λ):求出$D_i(\lambda),$Di​(λ),(i阶行列式最大公因式)，则$d_i(\lambda)=\frac{D_i(\lambda)}{D_{i-1}(\lambda)},$di​(λ)=Di−1​(λ)Di​(λ)​,且$d_{i-1}(\lambda)$di−1​(λ)是$d_i(\lambda)$di​(λ)的因式。将不变因子化为初等因子。比如
   
2. 写出各Jordan块矩阵（一个初等因子对应一个Jordan块矩阵）
   
3. 合成Jordan矩阵