图形学笔记（一）：基础知识

从这便文章开始整理学习到的计算机图像学相关知识，原则是只写我没在网上找到清楚解释的内容，如果有很好的文章介绍相关内容，我会直接把链接贴上。

首先弄清 Computer Graphics和 Computer Vision的关系和区别

大致上讲，CG是图像和视频合成的工具和机制，而CV通常用于分析和提取视频和图像的语义内容，这两个领域的技术没有明显的界限，但是目的稍有不同。

线性代数基础

• 向量积 Vector Cross product

  关于Cross product维基百科解释的非常详细。
  $\vec u\times\vec v=|\vec u||\vec v|sin\theta\vec c$u×v=∣u∣∣v∣sinθc
  需要特别注意的是两个向量u和v在三维空间的叉乘的几何意义

• 数量积 Vector Dot Product

  关于Dot Product 的相关知识。
  $\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|cos\theta$u⋅v=∣u∣∣v∣cosθ

线性代数变换

• 仿射组合 The affine combination

  首先先了解一下什么是仿射变换.

  如何通俗地讲解「仿射变换」这个概念？ - 马同学的回答 - 知乎

  而仿射函数实际上就是表示这一变换过程的函数，一般形式是$f(\vec x)=A\vec x+\vec b$f(x)=Ax+b,$A$A是一个$m\times k$m×k矩阵，$\vec x$x是一个$k$k向量, $\vec b$b是一个$m$m向量。

  仿射组合的概念更加抽象，可以通过下面这个例子了解一下两个二维向量的仿射组合：

  仿射组合为什么代表一条线？ - 电猫哥electricat的回答 - 知乎

  这个例子证明了两个二维向量的仿射组合可以代表一条直线，可以发现仿射组合其实是对于给定向量$\vec v_1,\vec v_2$v1​,v2​（者点$p_1，p_2$p1​，p2​）与一组权重$[\lambda_0,\lambda_1]$[λ0​,λ1​]的线性变换，而且必须满足$\lambda_1+\lambda_2=1$λ1​+λ2​=1，即$\vec y=\lambda_1\vec v_1+\lambda_2\vec v_2$y​=λ1​v1​+λ2​v2​。推广到$n$n个向量定义如下：
  $组合 \{v\in V|v=\sum_{i=0}^{n}\lambda_iv_i,with\sum_{i=0}^{n}\lambda_i=1\} 被称为向量v_i的仿射组合$组合{v∈V∣v=i=0∑n​λi​vi​,withi=0∑n​λi​=1}被称为向量vi​的仿射组合

  （未完，这部分以后会补张图…）

• 重心坐标 Barycentric Coordinates

  上面介绍的内容其实隐含了一个前提：坐标系类型已确定。在数学中，坐标系的类型很多，例如齐次坐标系（homogeneous coordinates or projective coordinates），和笛卡尔坐标系（Cartesian coordinate system）,在不同的坐标系下，对事物的描述方法和变换自然是不同的。各个坐标的关系可以参考下面的文章：

  从带号面积到坐标系的建立 - PeaucellieRay的文章 - 知乎

  这里主要介绍一下重心坐标系，找到一片讲的比较清楚的文章。

  重心坐标（Barycentric coordinates） - 杨超的文章 - 知乎

  通过上文其实我们可以发觉重心坐标的表示方法就是点$P_i$Pi​的仿射组合，而$w_i$wi​就是组合权重。
  值得注意的是，上文的三角形其实是放在一个仿射空间（affine space）里的。维基百科这样描述仿射空间：

  仿射空间是没有起点只有方向大小的向量所构成的向量空间。

  我的理解是仿射空间就是没有原点的线性空间，这里就不展开讨论了。

  回到重心坐标的话题上来，通过结合仿射组合，有下面的定义:

  $在一个仿射空间的坐标系内，给出点集B=\{p_0,...p_n\}和点p的仿射组合:$在一个仿射空间的坐标系内，给出点集B={p0​,...pn​}和点p的仿射组合:
  $p=\sum_{i=0}^{n}\lambda_ip_i\ with\ \lambda_i\ge0;\ \sum_{i=0}^{n}\lambda_i=1$p=i=0∑n​λi​pi​ with λi​≥0; i=0∑n​λi​=1

  $\lambda_i就是点p的重心坐标（barycentric\ coordinates).$λi​就是点p的重心坐标（barycentric coordinates).

  
  通过多个点确定一个坐标确实感觉很费劲，但是如上个链接里的文章所说，这个坐标系大有可为，在计算机图形学中需要使用一个非常重要的技术——线性插值，就用到重心坐标，这个以后的文章一改也会提到。

• 凸包 Convex Hulls

  凸包的几何意义是给定空间一堆离散的点，计算能够包含这些点的一个凸多边形,如下图可以用凸包讲general mesh的点精简成convex mesh，在碰撞检测中省去了大量内存。

凸包的表示方法如下，可以发现可以利用仿射组合保证凸性（Convexity），原因暂不讨论。

$点集 co\{p_0,...,p_n\}=\{p|p=\sum_{i=0}^{n}\lambda_ip_i,\sum_{i=0}^{n}\lambda_i,and\ \lambda_i\ge0,i=0,...,n\}$点集co{p0​,...,pn​}={p∣p=i=0∑n​λi​pi​,i=0∑n​λi​,and λi​≥0,i=0,...,n}
$co\{p_0,...,p_n\}就是点集p_1，...,p_n的凸包$co{p0​,...,pn​}就是点集p1​，...,pn​的凸包

• 仿射映射 Affine mappings