博客来源：https://www.zhihu.com/question/23005815
根据我的理解，大多数人用汉密尔顿四元数就只是做三维空间的旋转变换（我反正没见过其他用法）。那么你不用学群论，甚至不用复习线性代数，看我下面的几张图就可以了。
首先，定义一个你需要做的旋转。旋转轴为向量，旋转角度为
（右手法则的旋转）。如下图所示，此图中，
,
那么与此相对应的四元数（下三行式子都是一个意思，只是不同的表达形式）
这时它的共轭（下三行式子都是一个意思，只是不同的表达形式），
如果你想算一个点在这个旋转下新的坐标
,需要进行如下操作，
1.定义纯四元数
2.进行四元数运算
3.产生的一定是纯四元数，也就是说它的第一项为0，有如下形式：
4.中的后三项
就是
：
这样，就完成了一次四元数旋转运算。
同理，如果你有一个四元数：
那么，它对应一个以向量为轴旋转
角度的旋转操作（右手法则的旋转）。