SLAM之对极约束推导

以下图片就来自于高翔博士《视觉SLAM十四讲》

我看到这里的时候对于（7.2）没有看懂，因为直觉上跟（7.1）完全不等，因此我自己推导了以下，发现也可以推导出之后的对级约束（7.7）。具体推导如下：

$s_1p_1 = KP, s_2p_2 = K(RP+t)$s1​p1​=KP,s2​p2​=K(RP+t) 注意这里的R和t实际上可以写为$R_{21}$R21​和$t_{21}$t21​,接下来将上述两公示变形：
$s_1K^{-1}p_1 = P, s_2K^{-1}p_2=RP+t$s1​K−1p1​=P,s2​K−1p2​=RP+t 令：$x_1 = K^{-1}p_1, x_2=K^{-1}p_2$x1​=K−1p1​,x2​=K−1p2​,那么上式可写为：
$s_1x_1 = P, s_2x_2=RP+t$s1​x1​=P,s2​x2​=RP+t于是有：
$s_2x_2 = R(s_1x_1)+t = s_1Rx_1+t$s2​x2​=R(s1​x1​)+t=s1​Rx1​+t
接下来两边分别左乘$\hat{t}$t^可以得到：
$s_2\hat{t}x_2 = s_1\hat{t}Rx_1+\hat{t}t = s_1\hat{t}Rx_1$s2​t^x2​=s1​t^Rx1​+t^t=s1​t^Rx1​ 因为$\hat{t}t$t^t类似于差积，因此等于0：
$s_2\hat{t}x_2 = s_1\hat{t}Rx_1$s2​t^x2​=s1​t^Rx1​
两边分别左乘$x_2^T$x2T​,可以得到
$s_2x_2^T\hat{t}x_2 = s_1x_2^T\hat{t}Rx_1$s2​x2T​t^x2​=s1​x2T​t^Rx1​ 因为左侧等于0，因此右侧也等于0，$s_1$s1​是一个标量，因此：
$x_2^T\hat{t}Rx_1 = 0$x2T​t^Rx1​=0
这里的$E = \hat{t}R$E=t^R被称为本质矩阵（Essential Matrix）