【阅读笔记】Inferring network connectivity from event timing patterns

Inferring network connectivity from event timing patterns

Jose C , Dimitra M , Marc T . Inferring Network Connectivity from Event Timing Patterns[J]. Physical Review Letters, 2018, 121(5):054101-.

这篇文章提出了一个从 spike neural network 的 spike 序列来 reconstruct 网络连接的方法。
考虑一个含有$N$N各节点的网络，$i$i节点的第$m$m个 spike 发生在$t_{i,m}$ti,m​，定义 inter-spike interval (ISI)为
$\Delta T_{i,m}=t_{i,m}-t_{i,m-1}$ΔTi,m​=ti,m​−ti,m−1​

定义 cross-spike intervals (CSIs)为
$w^i_{j,k,m}=t_{j,p}-t_{i,m-1}$wj,k,mi​=tj,p​−ti,m−1​

表示在$i$i节点的第$m$m个 spike 间隔内$j$j节点发生的第$k$k次 sipke 距离间隔起始时间的间隔。现在假设给定的序列内$k$k的最大值为$K_i$Ki​，核心的想法是 ISI 和 CSI 满足
$\Delta T_{i,m}=h_i(\Lambda^iW^i_m)$ΔTi,m​=hi​(ΛiWmi​)

其中$\Lambda^i$Λi类似于链接矩阵，不过有所不同，它是一个$N\times N$N×N的对角矩阵，若$j$j对$i$i有作用，对角元素$\Lambda^i_{jj}=1$Λjji​=1，否则为0。$W^i_m=[w^i_{j,k,m}]$Wmi​=[wj,k,mi​]是个$N\times K_i$N×Ki​的矩阵，其中第$k$k列为
$w^i_{k,m}=[w^i_{1,k,m},w^i_{2,k,m},…,w^i_{N,k,m}]^T$wk,mi​=[w1,k,mi​,w2,k,mi​,…,wN,k,mi​]T

定义空间向量$e_{i,m}=[vec(W^i_m),\Delta T_{i,m}]^T$ei,m​=[vec(Wmi​),ΔTi,m​]T，取空间向量取空间向量的中心点$e_{i,r}$ei,r​作为线性化的中心，近似可得
$\Delta T_{i,m}=\Delta T_{i,r}+tr((\frac{\partial h_i}{\partial W^i}\Lambda^i[W^i_m-W^i_m])$ΔTi,m​=ΔTi,r​+tr((∂Wi∂hi​​Λi[Wmi​−Wmi​])

也就是说
$\Delta T_{i,m}=\Delta T_{i,r}+\sum_{k=1}^{K_i}\nabla h_{i,k}\Lambda^i(w^i_{k,m}-w^i_{k,r})$ΔTi,m​=ΔTi,r​+k=1∑Ki​​∇hi,k​Λi(wk,mi​−wk,ri​)

其中$\nabla h_{i,k}=[\frac{\partial h_i}{\partial W_{1k}^i},\frac{\partial h_i}{\partial W_{2k}^i},…,\frac{\partial h_i}{\partial W_{Nk}^i}]$∇hi,k​=[∂W1ki​∂hi​​,∂W2ki​∂hi​​,…,∂WNki​∂hi​​]，用线性回归求解系数$\nabla h_{i,k}$∇hi,k​。将$\frac{\partial h_i}{\partial W_{j1}^i}$∂Wj1i​∂hi​​的大小作为判断连接的依据。
下面是一些仿真结果
由于是线性化，所以选取空间向量中心附近的点做回归效果较好，无论是 spike 序列较为规律还是不规则的，而随机选择效果在不规则的 spike 上较差。

ESL 表示本文的重构方法，M表示数据量，图 a 展示用不同方法重构一个100个节点的 LIF neurons 神经网络的效果，图 b 展示用不同方法重构一个100个节点的 HH neurons 神经网络的效果，图 c 展示重构一个100个节点的 LIF neurons 神经网络但是只有 80 个节点可以观测的效果，图 b 展示在可观测节点不同比例下的重构效果。

不但可以重构出是否有链接，还可以确定是兴奋性连接还是抑制性连接

读后感：
把线性化用在了 snn 网络的重构，让我深刻地感到方向比努力更重要。