004旋转矩阵系统理解

学习惯导这么久，以为自己入门了，突然发现自己还是活在梦里。就拿这个旋转矩阵来说，在学惯导之前就已经明白是怎么回事了，然而并没有什么用，在INS的海洋里兜兜转转，又回到了旋转矩阵。入门道阻且长，惟有志存高远，方能钻研不休。
为了自己的健忘脑袋着想，还是再次完整的备忘一下关于旋转矩阵的问题。在本文中，对在学习严恭敏老师的《捷联惯导算法与组合导航原理讲义》中产生的疑问也做一个补充说明。文末附上前述讲义。

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一、入门基础

在开始本文之前，首先要把坐标系定义好。我还是要偷一下懒，因为我觉得我不可能写的比这篇好。见判断三维坐标系旋转正方向的简单方法。在本文中，坐标系即右手系，正向旋转如前述判断方法。
如图所示，将坐标系ox1y1z1$o{x}_1{y}_1{z}_1$绕z1$z_1$轴正向旋转至ox2y2z2$o{x}_2{y}_2{z}_2$，P$P$点在ox1y1z1$o{x}_1{y}_1{z}_1$中的坐标为(x1,y1)$(x_1,y_1)$，在ox2y2z2$o{x}_2{y}_2{z}_2$中的坐标为(x2,y2)$(x_2,y_2)$。

显然，该旋转为正向旋转(不要在意旋转角度的字母)，在二维坐标系中有

[x2y2]=[cosψ−sinψsinψcosψ][x1y1]$$\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\psi & sin\psi \\ -sin\psi & cos\psi \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]$$

在三维坐标系中有

⎡⎣⎢x2y2z2⎤⎦⎥=⎡⎣⎢cosψ−sinψ0sinψcosψ0001⎤⎦⎥⎡⎣⎢x1y1z1⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\psi & sin\psi & 0\\ -sin\psi & cos\psi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\end{array}\right]$$

即绕Z$Z$轴正向旋转的旋转矩阵为:

Cψ=⎡⎣⎢cosψ−sinψ0sinψcosψ0001⎤⎦⎥$$C_{\psi }=\left[\begin{array}{ccc}cos\psi & sin\psi & 0\\ -sin\psi & cos\psi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

同理，绕X$X$轴正向旋转的旋转矩阵为

Cθ=⎡⎣⎢1000cosθ−sinθ0sinθcosθ⎤⎦⎥$$C_{\theta }=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\theta & sin\theta \\ 0& -sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$$

绕Y$Y$轴正向旋转的旋转矩阵为

Cγ=⎡⎣⎢cosγ0sinγ010−sinγ0cosγ⎤⎦⎥$$C_{\gamma }=\left[\begin{array}{ccc}cos\gamma & 0& -sin\gamma \\ 0& 1& 0\\ sin\gamma & 0& cos\gamma \end{array}\right]$$

如果对绕Y$Y$轴旋转的情况不了解，请参考003备忘补充之惯性导航基本原理（刘保中）—9.1方向余弦与方向余弦矩阵

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二、方向余弦阵

这一小节通过严恭敏老师的讲义进行说明，针对20180206版本。

在该讲义的194页中，给出了两种定义欧拉角的方式，对于图B-2而言，通过以下方式旋转(注意：讲义中旋转角字母的定义跟我上面讲的不一样，不要搞混)

OX0Y0Z0−→−−−−正向旋转α绕Z轴OX1Y1Z1−→−−−−正向旋转β绕X轴OX2Y2Z2−→−−−−正向旋转γ绕Y轴OX3Y3Z3$$O{X}_0{Y}_0{Z}_0\underset{正向旋转\alpha }{\overset{绕Z轴}{\to }}O{X}_1{Y}_1{Z}_1\underset{正向旋转\beta }{\overset{绕X轴}{\to }}O{X}_2{Y}_2{Z}_2\underset{正向旋转\gamma }{\overset{绕Y轴}{\to }}O{X}_3{Y}_3{Z}_3$$

那么将坐标系从0系旋转到1系需要

⎡⎣⎢X1Y1Z1⎤⎦⎥=C10⎡⎣⎢X0Y0Z0⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ Y_1\\ Z_1\end{array}\right]=C_0^1\left[\begin{array}{c}{X}_0\\ Y_0\\ Z_0\end{array}\right]$$

C10=⎡⎣⎢cosα−sinα0sinαcosα0001⎤⎦⎥$$C_0^1=\left[\begin{array}{ccc}cos\alpha & sin\alpha & 0\\ -sin\alpha & cos\alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

将坐标系从0系旋转到2系需要

⎡⎣⎢X2Y2Z2⎤⎦⎥=C20⎡⎣⎢X0Y0Z0⎤⎦⎥=C21C10⎡⎣⎢X0Y0Z0⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{X}_2\\ Y_2\\ Z_2\end{array}\right]=C_0^2\left[\begin{array}{c}{X}_0\\ Y_0\\ Z_0\end{array}\right]=C_1^2{C}_0^1\left[\begin{array}{c}{X}_0\\ Y_0\\ Z_0\end{array}\right]$$

C21=⎡⎣⎢1000cosβ−sinβ0sinβcosβ⎤⎦⎥$$C_1^2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\beta & sin\beta \\ 0& -sin\beta & cos\beta \end{array}\right]$$

将坐标系从0系旋转到3系需要

⎡⎣⎢X3Y3Z3⎤⎦⎥=C30⎡⎣⎢X0Y0Z0⎤⎦⎥=C32C21C10⎡⎣⎢X0Y0Z0⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{X}_3\\ Y_3\\ Z_3\end{array}\right]=C_0^3\left[\begin{array}{c}{X}_0\\ Y_0\\ Z_0\end{array}\right]=C_2^3{C}_1^2{C}_0^1\left[\begin{array}{c}{X}_0\\ Y_0\\ Z_0\end{array}\right]$$

C32=⎡⎣⎢cosγ0sinγ010−sinγ0cosγ⎤⎦⎥$$C_2^3=\left[\begin{array}{ccc}cos\gamma & 0& -sin\gamma \\ 0& 1& 0\\ sin\gamma & 0& cos\gamma \end{array}\right]$$

那么从3系旋转到0系即为：

C03=(C30)T=(C32C21C10)T=(C10)T(C21)T(C32)T=C01C12C23$$C_3^0=(C_0^3{)}^T=(C_2^3{C}_1^2{C}_0^1{)}^T=(C_0^1{)}^T(C_1^2{)}^T(C_2^3{)}^T=C_1^0{C}_2^1{C}_3^2$$

=⎡⎣⎢cosαsinα0−sinαcosα0001⎤⎦⎥⎡⎣⎢1000cosβsinβ0−sinβcosβ⎤⎦⎥⎡⎣⎢cosγ0−sinγ010sinγ0cosγ⎤⎦⎥$$=\left[\begin{array}{ccc}cos\alpha & -sin\alpha & 0\\ sin\alpha & cos\alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\beta & -sin\beta \\ 0& sin\beta & cos\beta \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}cos\gamma & 0& sin\gamma \\ 0& 1& 0\\ -sin\gamma & 0& cos\gamma \end{array}\right]$$

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资源：

捷联惯导算法与组合导航原理讲义(20180206)密码：mpqp

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