MV：图像采集（2）

4. Optics

透镜将物体的图像聚焦在一组光电二极管上。传感元件把光转换成电信号。
重要的光学参数：放大率，焦距和景深。

4.1 Light

$p:动量；\lambda:波长;普朗克常量h\approx6.62×10^{-34}$p:动量；λ:波长;普朗克常量h≈6.62×10−34

$德布罗意方程：\lambda=\frac{h}{p}$德布罗意方程：λ=ph​
每个粒子有能量：
$E=hv$E=hv
在真空中：
$v=\frac{c}{\lambda}$v=λc​
在各向同性、透明材料中，光速
$v<c$v<c
材料的折射率
$n=c/v$n=c/v

4.2 Fermat’s Principle

费马原理：光线所经过的路径是与附近路径比较的极值（通常是极小值）。相对于射线路径的变化，极值可以是最小值、最大值或平稳值。
数学描述：
$\delta(OPL)=\delta\int_Cn(x,y,z)ds=0$δ(OPL)=δ∫C​n(x,y,z)ds=0
OPL：optical path length光程长度
$\delta:$δ:小的位置变化
$n(x,y,z):$n(x,y,z):在点A和B之间的路径C上的折射率
$ds:$ds:一个无穷小的弧长

最小时间原则：在均匀介质-具有恒定折射率的介质中，光线的路径是一条直线，因为在两个端点之间最短的光阑沿着一条直线，这条直线假定光线的传播时间最短。

折射法则：

$t=(AO+OB)/v$t=(AO+OB)/v
t:光通过路径所需的时间；
v：均匀介质中的光速
$t(z)=\frac{1}{v}([h_1^2+(d-z)^2]^{0.5}+[h_2^2+z^2]^{0.5})$t(z)=v1​([h12​+(d−z)2]0.5+[h22​+z2]0.5)
根据最小时间定理：
$\frac{dt(z)}{dz}=0$dzdt(z)​=0
$\frac{d-z}{[h_1^2+(d-z)^2]^{0.5}}=\frac{z}{[h_2^2+z^2]^{0.5}}$[h12​+(d−z)2]0.5d−z​=[h22​+z2]0.5z​
$sin\phi_i=sin\phi_r$sinϕi​=sinϕr​
$\phi_i=\phi_r$ϕi​=ϕr​

$n_1sin\phi_i=n_2sin\phi_r$n1​sinϕi​=n2​sinϕr​
$sin\phi_c=\frac{n_2}{n_1}$sinϕc​=n1​n2​​
当光线从折射率较小的介质传播到折射率较大的介质（光学密度较高的介质）时，它会向法线方向弯曲。
如果光线进入折射率较低的介质，则光线会偏离法线。在临界角处，折射光线偏离法线正好90度。(Total internal reflection全内反射)光纤采用全反射原理导光。

4.3 Paraxial Optics

光学系统可能包含一系列以同一轴（光轴）为中心的球面折射和/或反射表面。光轴可以作为z轴，即光线传播的大致方向。Paraxial rays傍轴光线是位于x-z平面中且靠近z轴的光线。沿x轴的某个点处的射线可以通过包含射线位置和方向的坐标来指定。矩阵可以用来表示射线上的算子。

假设光线位于$xz$xz平面中并且接近$z$z轴。射线可以通过距光轴的高度$x$x以及与$z$z轴的夹角$θ$θ（以弧度和逆时针为正）来指定。角度$θ$θ可以用$v = nθ$v=nθ代替，其中$n$n是$z$z常数平面上的折射率。

$\begin{pmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{pmatrix} → \begin{pmatrix} x_1 \\ n\theta_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_1 \\ v_1 \end{pmatrix} \quad$(x1​θ1​​)→(x1​nθ1​​)=(x1​v1​​)
The ray rensfer matrix: ABCD矩阵(它可以由许多矩阵组成，以说明光线通过各种光学元件的影响)
$\begin{pmatrix} x_2 \\ v_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} A &B \\ C&D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ v_1 \end{pmatrix} \quad$(x2​v2​​)=(AC​BD​)(x1​v1​​)

$D=0, v_2=Cx_1:$D=0,v2​=Cx1​:

B=0,x_2=Ax_1:

放大率$A=x_2/x_1$A=x2​/x1​
C=0, v_2=Dv_1:

角放大率：
$D(n_1/n_2)=\theta_2/\theta_1$D(n1​/n2​)=θ2​/θ1​

A=0, x_2=Bv_1:

4.4 Translation Matrix 平移矩阵

假设光线在折射率为n的均匀介质中传播了水平距离d

$x_2=x_1+dtan\theta_1=x_1+d\theta_1$x2​=x1​+dtanθ1​=x1​+dθ1​
$n\theta_2=n\theta_1$nθ2​=nθ1​
$v_2=v_1$v2​=v1​
$\begin{pmatrix} x_2 \\ \theta_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & d/n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ v_1 \end{pmatrix} \quad$(x2​θ2​​)=(10​d/n1​)(x1​v1​​)
$T_d=\begin{pmatrix} 1 & d/n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$Td​=(10​d/n1​)

4.5 Refraction Matrix折射矩阵

考虑一个分离出折射率n_1和n_2两个区域的球面。曲面的中心是C，曲率半径是R
射线以A点射入表面并发生折射。Φ_i是入射角和Φ_t是折射角。x是从A到光轴的高度。如果中心C位于曲面的右(左)面，曲率半径为正(负)。

$R= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_1-n_2}{R}& 1 \end{pmatrix}$R=(1Rn1​−n2​​​01​)
$sin\phi\approx x/R \approx \phi$sinϕ≈x/R≈ϕ
折射定律:
$n_1\phi_i=n_2\phi_t$n1​ϕi​=n2​ϕt​
几何关系：
$n_1\phi_i=v_1+n_1x_1/R$n1​ϕi​=v1​+n1​x1​/R
$n_2\phi_t=v_2+n_2x_2/R$n2​ϕt​=v2​+n2​x2​/R
since $x_1=x_2, v_2=\frac{n_1-n_2}{R}x_1+v_1$x1​=x2​,v2​=Rn1​−n2​​x1​+v1​
$\begin{pmatrix} x_2 \\ v_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0 \\ -p&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ v_1 \end{pmatrix}$(x2​v2​​)=(1−p​01​)(x1​v1​​)
折射率：
$p=\frac{n_2-n_1}{R}$p=Rn2​−n1​​

4.6 Thin-Lens Matrix

$S_f$Sf​：thin-lens matrix
$f$f：焦距
$\begin{pmatrix} x_2 \\ v_2 \end{pmatrix} =S\begin{pmatrix} x_1 \\ v_1 \end{pmatrix}$(x2​v2​​)=S(x1​v1​​)
Thick lens:
$S=R_2T_dR_1= \begin{pmatrix} 1&0 \\ \frac{n_2-n_1}{R_2}&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&d/n_2 \\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0 \\ \frac{n_1-n_2}{R_1} &1\end{pmatrix}$S=R2​Td​R1​=(1R2​n2​−n1​​​01​)(10​d/n2​1​)(1R1​n1​−n2​​​01​)
$d→0,n_1=1,n_2=n$d→0,n1​=1,n2​=n
$S= \begin{pmatrix} 1&0 \\ -p_2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0 \\ -p_1&1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0 \\ -1/f_1&1 \end{pmatrix} =S_f$S=(1−p2​​01​)(10​01​)(1−p1​​01​)=(1−1/f1​​01​)=Sf​
$p_1=\frac{n-1}{R_1}, p_2=\frac{1-n}{R-2}$p1​=R1​n−1​,p2​=R−21−n​
$\frac{1}{f}=(n-1)(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})$f1​=(n−1)(R1​1​−R2​1​)
平行于光轴的射线：

穿过透镜中心的光线：

通过凸透镜前焦距和凹透镜后焦距的光线：