8-1 图论最短路径问题

1. 图的基本概念
   图包括点和线（分无向和有向），一般用点表示事物，用线表示关系

2. 图可以用矩阵表示：

   比如（3，4）对应的点为2，表示的就是第三行第四列的点，在图中表示第三点指向第四点并有权重为2.图中的Inf表示的是无穷，说明这两个点在该方向上没有连接，记为无穷。无向图可以理解为双向图，道理相同。
   

3. 迪杰斯特拉算法
   算法的思想可以由一个四行表格来概括：
   
   对这样一个道路，我们想要找出0-4的最短道路是多长，我们可以用这样的算法：
   用visited记录走过的点，distance记录权重，parent记录上一个点（初始状态下没有上一个点，记为-1）
   0走出第一步，可以走1，也可以走7，这时我们就记下路程，更新表格：
   
   这时我们记下了到点1和点7的数据，然后我们选择最短的一条路来走，于是选择了点1的路（就是橙色部分）
   然后继续走，1-2，1-7好像都可以唉
   更新表格：
   
   这里我们看到点2和点7都更新了，那就选择最近的点7的路即可。
   剩下的就是一直更新表格➡选路➡更新表格，一直到最短路径出来就可以了。
   最后是这样一个表格：
   
   我们可以直接看parent：0-1-7-8-5-2（不选6和3，是因为parent一项中它们没有出现，也就是它们实际上不包含在最短路径里面）

   最后提示：这个算法和弗洛伊德算法、贝尔曼-福特算法都不支持含有负权回路的图！

4. 相关函数（这部分很多都来自清风老师的ppt…整理出来方便回看罢辽…)
   a. matlab作图
   graph(s,t)：可在s 和 t 中的对应节点之间创建边，并生成一个图：G1 = graph(s1, t1); plot(G1)
   graph(s,t,w)：可在s 和t 中的对应节点之间以w的权重创建边，并生成一个图 G2 = graph(s2, t2); plot(G2, ‘linewidth’, 2) % 设置线的宽度
   % 下面的命令是在画图后不显示坐标 set( gca, ‘XTick’, [], ‘YTick’, [] );
   上面都是无向图，要做出有向图，只需要将graph改为digraph就行了
   (这个是为了后面的图像处理方便，放到论文里面的话建议在线画图会好看）
   b. 返回任意两点的距离矩阵
   d = distances(G [,‘Method’,algorithm])
   c. 找给定范围内所有的点
   [nodeIDs,dist] = nearest(G,s,d[,‘Method’,algorithm]) 返回图形G 中与节点s 的距离在d 之内的所有节点。 nodeIDs是符合条件的节点，Dist是这些节点与s的距离。
   d. Matlab计算最短路径
   [P,d] = shortestpath(G,start,end[,‘Method’,algorithm] )
   功能：返回图G中start节点到end节点的最短路径
   输入参数： （1）G ‐输入图（graph 对象 / digraph 对象） （2）start 起始的节点 （3）end 目标的节点 （4）[,‘Method’,algorithm]是可选的参数，表示计算最短路径的算法。一般不用手动设置，默认使用的是“auto”,
   输出参数：
   （1）P –最短路径经过的节点 （2）d –最短距离