四面体求角

  今天工作的时候碰到一个数学问题，我把它叫做四面体求角，估计这个问题有现成的解答，但是为了加深理解，我还是自己求解了一遍。话不多说，先放个图：
  图中有$\alpha$α、$\beta$β、$\theta$θ三个角，$\alpha\in (0,\pi)$α∈(0,π)是斜面角，$\beta\in (0,\pi)$β∈(0,π)是底面三角形的内角，$\theta\in (0,\frac{\pi}{2})$θ∈(0,2π​)是竖直面直角三角形内角。知道其中两个，求另一个，这就是我所说的四面体求角的问题。不妨假设已知$\alpha$α角和$\beta$β角，求$\theta$θ角。
  假设顶部斜边的长度为$l$l并假设底部斜边的长度与顶部斜边的长度相等，即$l_2=l$l2​=l，其他的四条边都用$l$l来表示，则有：

1. $h_1=l\mathrm{sin}\theta$h1​=lsinθ
2. $h_2=l\mathrm{cos}\theta$h2​=lcosθ
3. $h_3^2=h_2^2+l_2^2-2h_2l_2\mathrm{cos}\beta\Rightarrow h_3^2=(l\mathrm{cos}\theta)^2+l^2-2l^2\mathrm{cos}\theta \mathrm{cos}\beta$h32​=h22​+l22​−2h2​l2​cosβ⇒h32​=(lcosθ)2+l2−2l2cosθcosβ
4. $l_3^2=h_1^2+h_3^2=(l\mathrm{sin}\theta)^2+(l\mathrm{cos}\theta)^2+l^2-2l^2\mathrm{cos}\theta \mathrm{cos}\beta=2l^2(1-\mathrm{cos}\theta\mathrm{cos}\beta)$l32​=h12​+h32​=(lsinθ)2+(lcosθ)2+l2−2l2cosθcosβ=2l2(1−cosθcosβ)
5. $l_3^2=l^2+l_2^2-2ll_2\mathrm{cos}\alpha=2l^2(1-\mathrm{cos}\alpha)$l32​=l2+l22​−2ll2​cosα=2l2(1−cosα)

  从上面的最后两个表达式可以得到：
$2l^2(1-\mathrm{cos}\theta\mathrm{cos}\beta)=2l^2(1-\mathrm{cos}\alpha)$2l2(1−cosθcosβ)=2l2(1−cosα)
  整理之后可以得到：
$\mathrm{cos}\alpha=\mathrm{cos}\theta\mathrm{cos}\beta$cosα=cosθcosβ
  至此，四面体求角的问题已经解决，只要把已知的两个角的值代入$\mathrm{cos}\alpha=\mathrm{cos}\theta\mathrm{cos}\beta$cosα=cosθcosβ中就可以求解另一个角的值。