贝叶斯公式与三门问题讨论

复习几个概念

样本空间：随机试验所有可能的结果的集合，一般记为S

随机事件：试验的样本空间S的某一个子集，简称事件

频数：相同条件下，进行n次试验，事件A发生的次数，记为n_a

频率：n_a/n

概率：重复试验的次数n逐渐增大时，频率的稳定值（先验概率）

事件之间的关系：和事件 $A \bigcup B$ ，积事件 $A \bigcap B$ 简称AB

条件概率（后验概率）

事件A发生的条件下事件B发生的概率，用 $P(B|A)$ 表示

例1:将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况。设事件A：”至少有一次为正面“，事件B：”两次掷出同一面“。求事件A已经发生的情况下，事件B发生的概率。

解：

另正面=M，反面=N

样本空间S={MM,MN,NM,NN}

事件A={MM,MN,NM}

事件B={MM,NN}

A已经发生的情况下，事件B发生的情况只有MM，那么 $P(B|A)=\frac 1 3=\frac {P(AB)}{P(A)}$

综上所述，设试验的基本事件总数为n，事件A所包含的基本事件数为m，AB所包含的基本事件数为k，既有
$P(B|A)=\frac k m = \frac {k/n}{m/n} = \frac {P(AB)}{P(A)}$

本质是样本空间发生了改变，当A为条件时，样本空间从S变成了A
乘法定理：
$P(AB)=P(B|A)P(A)$

$P(A_1A_2...A_n)=P(A_n|A_1A_2...A_{n-1})P(A_{n-1}|A_1A_2...A_{n-2})...P(A_2|A_1)P(A_1)$

全概率公式

划分:设S为试验E的样本空间， $B_1,B_2,...,B_n$ 为E的一组事件，并满足以下条件：
$（i）B_iB_j = \phi,i \neq j,i,j=1,2,...,n;$ $（ii) B_1 \bigcup B_2 \bigcup ... \bigcup B_n=S$

设试验E为“整一颗骰子观察其点数”，样本空间S={1,2,3,4,5,6} ,E的一组B₁={1,2,3},B₂={4},B₃={5,6},是S的一个划分。

定义:设试验E的样本空间为S，A为E的事件， $B_1,B_2,...,B_n$ 为E的一个划分，且 $P(B_i)>0(i=1,2,...,n)$ ,则
$P(A)=P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ... + P(A|B_n)P(B_n)$
推导：
$A=AS=A( B_1 \bigcup B_2 \bigcup ... \bigcup B_n)=AB_1 \bigcup AB_2 \bigcup ... \bigcup AB_n$
$P(A)=P(AS)$
… $=P(AB_1 \bigcup AB_2 \bigcup ... \bigcup AB_n)$
… $=P(AB_1) + P(AB_2) + ... + P(AB_n)$
… $=P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ... + P(A|B_n)P(B_n)$ [由乘法定理可得]

意义:现实中无法直接求得P(A),却可以间接通过S的一个划分 $B_1,B_2,...,B_n$ 求得，且 $P(B_i)$ 和 $P(A|B_i)$ 可能是已知条件，或者很容易求到，那么就能通过全概率公式求到 $P(A)$

例2:某电子厂设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录又以下的数据：

元件制造厂次品率提供元件的份额

1 0.02 15%

2 0.01 80%

3 0.03 5%

求随便从所有的元件中取一个，次品的概率；

解：设A表示“取到的一个是次品”， $B_i(i=1,2,3)$ 表示“所取到的产品是由第 $i$ 家工厂提供的”,由此易知， $B_1,B_2,B_3$ 是样本空间S的一个划分，且有
$P(B_1)=0.15,P(B_2)=0.80,P(B_3)=0.05$
$P(A|B_1)=0.02,P(A|B_2)=0.01,P(A|B_3)=0.03$
$P(A)=P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + P(A|B_3)P(B_3) = 0.0125$

元件制造厂	次品率	提供元件的份额
1	0.02	15%
2	0.01	80%
3	0.03	5%

贝叶斯公式

例2中，思考：若取出一个元件经检验发现为次品，求该元件为第2家提供的概率；

$P(B_2|A)=\frac {P(AB_2)}{P{A}}[条件概率]$

… $=\frac {P(A|B_2)P(B_2)}{P{(A)}}[乘法定理]$

… $=\frac {P(A|B_2)P(B_2)}{P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + P(A|B_3)P(B_3)}[乘法定理]$

由此可得，贝叶斯公式:设试验E的样本空间为S，A为E的事件， $B_1,B_2,...,B_n$ 为S的一个划分，且 $P(A)>0,P(B_i)>0(i=1,2,...,n)$ ,则
$P(B_i|A) = \frac {P(A|B_i)P(B_i)} {\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)}$

练习:据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，求不吸烟者患癌症的概率是多少？

关于”三门问题“的讨论

问题概述：

现场有三扇关闭了的门，其中一扇的后面有辆跑车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。

参赛者需要从中选择一扇门，如果参赛者选中后面有车的那扇门就可以赢得这辆跑车。
当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。
接下来参赛者会被问到：是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门？

分析：
假定参赛者选第1扇门

如果选择的1号门后是汽车，则主持人会随机的打开2、3号门，打开的概率都为0.5;
如果先泽的1号门后面不是汽车，则主持人一定会打开2号或3号门的其中一扇，概率分别为1和0；

答案：设事件 $A_i(i=1,2,3)$ 为“第 $i$ 扇门后有汽车”，事件B“主持人打开2号门”

则 $P(A_1)=\frac 13$ 、 $P(A_2)=\frac 13$ 、 $P(A_3)=\frac 13$ ，

容易求得：第 $i$ 扇门后有汽车主持人打开2号门的概率 $P(B|A_i)$ :

第 $1$ 扇门后有汽车主持人打开2号门的概率 $P(B|A_1)=\frac 12$
第 $2$ 扇门后有汽车主持人打开2号门的概率 $P(B|A_2)=0$
第 $3$ 扇门后有汽车主持人打开2号门的概率 $P(B|A_3)=1$

所以 $P(B)=P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)=\frac 1 2$
最终想要求得：主持人打开2号门之后第 $i$ 扇门后有汽车的概率 $P(A_i|B)$ :

主持人打开2号门之后第 $1$ 扇门后有汽车的概率 $P(A_1|B)=\frac {P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}=\frac {\frac 13 \times \frac 12} {\frac 12}=\frac 13$
主持人打开2号门之后第 $2$ 扇门后有汽车的概率 $P(A_1|B)=\frac {P(B|A_2)P(A_2)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}=\frac {\frac 13 \times 0} {\frac 12}= 0$
主持人打开2号门之后第 $3$ 扇门后有汽车的概率 $P(A_1|B)=\frac {P(B|A_3)P(A_3)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}=\frac {\frac 13 \times 1} {\frac 12}= \frac 23$

由此可以看出：当参赛者选择1号门，未打开门时概率为先验概率（都为 $\frac 13$ ），当门被主持人打开一扇之后，门后有汽车的概率都发生了相应的调整，变更为 $\frac 13$ 、 $0$ 、 $\frac 23$ ，也就是说如果参赛者不改变想法，仍然选择第1扇门，那么概率仍为1/3，如果改变想法选择第3扇门，概率就会变成 $\frac 23$