线性代数笔记系列（一）

行列式：

• 一、行列式相关概念：
• 二、行列式的运算性质：
• 三、特殊行列式：

• 一、行列式相关概念：

概念	释义
k阶子式	对于矩阵A，任取k行和k列，将位于这些行和列的交点上的元素按照原来的次序组成的k阶方阵的行列式，叫做A的一个k阶子式
余子式	对于n阶行列式$D$D，把第i行和第j列元素划去后，所留下来的n-1阶行列式$D'$D′叫$D$D的一个余子式
代数余子式	对于划去第i行和第j列的元素的余子式$D'$D′，称$M = (-1)^{i+j}D'$M=(−1)i+jD′为$D'$D′对应的代数余子式

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• 二、行列式的运算性质：

  1）行列式与其转置行列式相等；

  2）交换变换：对换两行/列，行列式变号 => 若行列式某两行/列相等，则为零；

  3）数乘变换：若行列式某行/列有公因数k，则可以将k提到行列式外部 => 若行列式数乘k，则相当于行列式中某一行/列乘以k，而不是全部元素；

  4）消法变换：行列式不变 => 若行列式两行/列成比例，则行列式为零；

  5）行列式运算原理：$D = \Sigma(-1)^ka_{1k_1}a_{2k_2}...a_{nk_n}$D=Σ(−1)ka1k1​​a2k2​​...ankn​​

  其中，ki是行列式的列序号的某一种排列，k是其对应的逆序数，若行序号同样取任意排列，则k为两个排列的逆序数之和；由表达式可知，行列式的某一个加数一定是取自不同行且不同列的元相乘得到的，这种本质规则在很多时候能简化行列式的运算；

  6）行列式的加法拆分：
  如果行列式的某一行/列的每个元素都可以拆成两个数之和，则该行列式可以拆成两个行列式之和，其中这两个行列式的该行分别以拆成的两个数组成；

  7）拉普拉斯展开定理：
  
  8）比内特-柯西公式：
  

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• 三、特殊行列式：

1）主对角线的上、下三角行列式：

2）副对角线的上、下三角行列式：

3）范德蒙德行列式：

4. 三对角行列式：

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