拓扑排序
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什么是拓扑排序：
设G=(V, E)是一个具有n个顶点的有向图，V中顶点序列v1,v2, … vn,称为一个拓扑序列，当且仅当该顶点序列满足下列条件：
若<i, j>是图中的边(或从顶点i到j有一条路径) :
则在拓扑序列中顶点i必须排在顶点j之前。
在一个有向图中找-一个拓扑序列的过程称为拓扑排序。 -
拓扑排序步骤
(1)从有向图中选择一个没有前驱(即入度为0)的顶点并且输出它。
(2)从图中删去该顶点，并且删去从该顶点发出的全部有向边。
(3)重复上述两步，直到剩余的图中不再存在没有前驱的顶点为止。
算法演示：
。。。。。。。。
我们来回顾下它的运行过程：
首先，找到一个没有入度的顶点C1，输出，去除C1的有向边；在剩下的图中找到没有入度的顶点C3，去除C3的有向边。依次操作下去，直到所有顶点均被输出，最后得到一个序列：C1，C3，C2，C7，C4，C6，C5
关键路径
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什么是AOE网
◎用一个带权有向图 (DAG)描述工程的预计进度。
◎顶点表示事件，有向边表示活动，边e的权c(e)表示完成活动e所需的时间(比如天数)。
◎图中入度为0的顶点表示工程的开始事件(如开工仪式)，出度为0的顶点表示工程结束事件。 -
关键路径
从AOE网中源点到汇点的最长路径，具有最大长度的路径叫关键路径。
关键路径是由关键活动构成的，关键路径可能不唯一。 -
求关键路径的过程
(1)事件的最早开始和最迟开始时间
事件v的最早开始时间：规定源点事件的最早开始时间为0。定义图中任一事件v的最早开始时间(early event) ee(v)等 于x、y、z到v所有路径长度的最大值：
(2)活动的最早开始时间和最迟开始时间
活动a的最早开始时间e(a)指该活动起点x事件的最早开始时间,即:
e(a)=ee(x)
活动a的最迟开始时间l(a)指该活动终点y事件的最迟开始时间与该活动所需时间之差，即：
l(a)=le(y)-c （a）
活动a的最迟开始时间l(a)与最早开始时间e(a)的差d（a）,即d（a）=l(a)-e(a)，当d（a）为0时，则该活动为关键活动。
算法演示：
我们来分析下上面的演示过程：
首先，先求最早开始时间e（a），即最长的路径长度，按拓扑排序ABCDEFGHI，依次求出各顶点的ee（a）值，e（a）值为该路径的前一个顶点ee（x）值。
最迟开始时间l（a），按IHGFEDCBA的拓扑排序，此时的le（I）应用求最早开始时间ee（I）的值开始，由于求最迟开始时间l（a），求得的le（y）即最短的路径长度，l（a）的值为该路径的后一个顶点le（y）-c（a）的值。
由此可知，关键活动有a11、a10、 a8、a7、a4、 a1，因此关键路径有两条: A-B-E-F-I和A-B-E-G-I。从关键路径可以看出：
1.缩短某一活动，整个活动不一定会缩短。
2.缩短某一关键活动时，整个活动也不一定会缩短。只有缩短所有关键路径共享的关键活动的时间，才可能整个工期缩短。