连续系统的时域分析（一）LTI连续系统微分方程解法2——零输入响应的求解方法

（一）零输入响应的定义

LTI系统完全响应$y(t)$y(t)分为零输入响应和零状态响应，零输入响应是激励为零的状态下仅由系统的初始状态$x(0)$x(0)引起的响应，用$y_{zi}$yzi​表示。

（二）解题步骤

1.在零输入条件下，激励$f(t)=0$f(t)=0,所以微分方程等式右端为零。即微分方程是齐次的。
$\sum_{j = 0} ^n a_j y^{(j)}_{zi}=0$j=0∑n​aj​yzi(j)​=0
2.列出特征方程，并解出特征根。特征根有四种情况。

• 单实根
• $r$r重实根
• 一对共轭复根$\lambda_{1,2}=\alpha\pm{j}\beta$λ1,2​=α±jβ
• $r$r重共轭复根

3.由特征根的形式列出$y_{zi}(t)$yzi​(t)的表达式

4.带入初始值，求出$C$C

不同特征根对应的齐次解

（三）例题

解：