层次分析法的理解

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层次分析法

层次分析法的特点
基本概念

重要性表
判断矩阵

为什么要引入判断矩阵呢？
判断矩阵的特点

一致矩阵

为什么要定义一致矩阵呢？
一致矩阵的特点:
一致矩阵的引理：
一致性检验的步骤

判断矩阵计算权重

算术平均法求权重
几何平均法
特征值法求权重

层次分析法的局限性
层次分析法框架图

层次分析法

评价类问题可用打分来解决，也就是说通过分数来量化一个评价指标，层次分析法就是一个量化指标的方法。
解决评价类问题的思路：
1. 评价的目标是什么？
2. 达到这个目标有哪几种可选的方案？
3. 评价的准则或者说评价的指标是什么？
- 一般来说，前两个问题的答案是根据数学建模题目可以判断出来的，但是第三个问题的答案就需要根据题目中的背景材料、常识以及网上搜索到的参考资料进行结合，从中筛选出最合适的指标，就可以根据指标来对方案进行打分

层次分析法的特点

层次分析法的理解
层次分析法的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化为若干因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在很对情况下，决策者可以直接使用层次分析法（AHP）进行决策，极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合、克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点

基本概念

重要性表

层次分析法的理解

判断矩阵

判断矩阵是层次分析法用来分析的一个方阵，方阵里的元素是评价指标之间两两比较得出的分值

为什么要引入判断矩阵呢？

这是为了确定指标的权重，一次性考虑全部指标之间的关系，往往考虑不周，因此采用了分而治之的思想，对单个指标进行研究，在这个指标下对方案之间两两比较进行评分，最后计算出该指标的权重

判断矩阵的特点

记方阵为A，对应的元素为 $\boldsymbol{a_{ij}}$

$\boldsymbol{a_{ij}}$ 表示的意义是，与指标 $\boldsymbol{j}$ 相比， $\boldsymbol{i}$ 的重要程度，重要程度由重要性表给出
当 $\boldsymbol{i}=\boldsymbol{j}$ 时，两个指标相同，因此同等重要记为1，所以主对角线上的元素为1
$\boldsymbol{a_{ij}>0}$ 且满足 $\boldsymbol{a_{ij}\times a_{ji}=1}$ （满足正互反矩阵）

一致矩阵

为什么要定义一致矩阵呢？

这是为了要判断我们的判断矩阵是否是不一致的，也就是判断矩阵会出现一些逻辑上的错误，一致矩阵的目的就是用来检验判断矩阵中是否存在很大的逻辑错误（可以容忍稍微的不一致）

一致矩阵的特点:

各行（各列）之间成倍数关系
$\boldsymbol{a_{ij}=\frac{\text{i的重要程度}}{\text{j的重要程度}}}$
$\boldsymbol{a_{jk}=\frac{\text{j的重要程度}}{\text{k的重要程度}}}$
$\boldsymbol{a_{ik}=\frac{\text{i的重要程度}}{\text{k的重要程度}}=a_{ij}\times a_{jk}}$

一致矩阵的引理：

A为n阶方阵，且A的秩 $\boldsymbol{r(A)=1}$ ，则A有一个特征值为 $\boldsymbol{tr（A）}$ ，其余特征值均为0，当特征值为n时，对应的特征向量刚好为 $\boldsymbol{k[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}}···\frac{1}{a_{1n}}]^T(k\ne 0)}$
n阶正互反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征值 $\boldsymbol{\lambda_{max}=n}$ ，且当正互反矩阵A非一致时，一定满足 $\boldsymbol{\lambda_{max}>n}$

一致性检验的步骤

第一步：计算一致性指标CI
$\boldsymbol{CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}}$
第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI
RI的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵，随机地从1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值 $\boldsymbol{\lambda'_{max}}$
$\boldsymbol{RI=\frac{\lambda'_{max}-n}{n-1}}$
第三步：计算一致性比例CR
$\boldsymbol{CR=\frac{CI}{RI}}$
如果CR < 0.1，则可认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要对判断矩阵进行修正（判断矩阵一般不会完全一致）

假如CR > 0.1，此时应该对判断矩阵进行修正，往一致矩阵上调整，一致矩阵各行各列成比例

判断矩阵计算权重

一致矩阵因为各行和各列之间成比例，因此不需要每一行都计算出所占的权重，但是判断矩阵不同，判断矩阵不是每一行或每一列都成比例，因此在某些地方计算出来的权重是不相同的

算术平均法求权重

归一化处理权重：对每一行（列）的元素对该行（列）全部元素进行求和，该行对应的元素除以该行元素的总和就可以得出该元素（方案）的权重
将归一化后的各列相加（按行求和），将相加后得到的向量中的每个元素除以方案数n即可得到权重向量

数学表示： $假设判断矩阵=\left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \\ ... &... &... &...\\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn} \end{array} \right]$
$那么算术平均法求得的权重向量\ \omega_i=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n\frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^na_{kj}}(i=1,2,...,n)$

几何平均法

将矩阵A中的元素按照行相乘得到一个新的列向量
将新的向量的每个分量开n次方
对该列向量进行归一化处理即可得到权重向量
$假设判断矩阵A=\left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \\ ... &... &... &...\\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn} \end{array} \right]$
$那么几何平均法求得的权重向量\ \omega_i=\frac{(\prod^n_{j=1}a_{ij})^{\frac{1}{n}}}{\sum^n_{k=1}(\prod^n_{j=1}a_{kj})^{\frac{1}{n}}}$

特征值法求权重

由前面可知，一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值为0，而且当特征值为n时，对应的特征向量刚好为 $\boldsymbol{k[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}}···\frac{1}{a_{1n}}]^T(k\ne 0)}$ ，分析可知 $\boldsymbol{[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}}···\frac{1}{a_{1n}}]^T}$ 就是一致矩阵的第一列上的元素

假如判断矩阵的一致性可以接受，那么也可以仿照一致矩阵权重的求法

求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
对求出的特征向量进行归一化处理即可得到权重

只有判断矩阵通过一致性检验才能使用

层次分析法的局限性

评价的决策层（方案层）不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大
平均随机一致性指标RI的表格中n最多是15
如果决策层中指标的数据是已知，再用层次分析法去主观给出判断矩阵显然是不合理的，那么我们该如何利用这些数据来世的评价更加准确呢？

层次分析法框架图

层次分析法的理解

从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示，除目标层外，每个元素至少受上一层一个元素支配，除最后一层外，每个元素至少支配下一层次一个元素，上下层元素的联系比同一层次强，以避免同一层次中不相邻元素存在支配关系；
整个结构中，层次数不受限制
最高层只有一个元素，每一个元素所支配的元素一般不超过9个，元素过多时可进一步分组。
由上图可以看到在准则层中，可以有不同的准则，以及准则之下还可以有子准则。