机器学习系列——最小角回归

在介绍最小角回归之前，需要先看看两个预备算法：

• 前向选择算法
• 前向梯度算法

前向选择算法

前向选择算法的原理是一种典型的贪心算法。要解决的问题是：

        对于$Y=X\theta$Y=Xθ这样的线性关系，如何求解系数$\theta$θ。其中$Y$Y是$m*1$m∗1的向量，$X$X是$m*n$m∗n的矩阵，$\theta$θ为$n*1$n∗1的向量。$m$m为样本数量，$n$n为特征维度。

把矩阵$X$X看成$n$n个$m*1$m∗1的向量$X_i(i=1,2,...,n)$Xi​(i=1,2,...,n)。在这$n$n个向量中选择一个与目标$Y$Y的余弦距离最大的一个$X_k$Xk​，用$X_k$Xk​来逼近$Y$Y，得到下式：
$\overline Y=X_k\theta_k$Y=Xk​θk​，其中$\theta_k=\frac {<X_k,Y>}{||X_k||_2}$θk​=∣∣Xk​∣∣2​<Xk​,Y>​

即$\overline Y$Y是$Y$Y在$X_k$Xk​上的投影。那么，可以定义残差：$Y_{yes}=Y-\overline Y$Yyes​=Y−Y。由于是投影，可知$Y_{yes}$Yyes​和$X_k$Xk​是正交的。再以$Y_{yes}$Yyes​作为新的因变量，去掉$X_k$Xk​后的剩下的自变量的集合$X_i(i=1,2,...,k-1,k+1,...,n)$Xi​(i=1,2,...,k−1,k+1,...,n)作为新的自变量集合，重复刚才投影和残差的操作，直到残差为0，或者所有的自变量都用完了，才停止算法。

当$X$X只有2维时，如上图所示，和$Y$Y最接近的是$X_1$X1​，首先在$X_1$X1​上投影，残差如上图长虚线。此时$X_1\theta_1$X1​θ1​模拟了$Y$Y，$\theta_1$θ1​模拟了$\theta$θ（仅仅模拟了一个维度）。接着发现最接近的是$X_2$X2​，此时用残差接着在$X_2$X2​投影，残差为图中短虚线。由于没有其他自变量了，此时$x_1\theta_1+x_2\theta_2$x1​θ1​+x2​θ2​模拟了$Y$Y，对应的模拟了两个维度的$\theta$θ即为最终结果。

此算法对每个变量只需执行一次操作，效率高，运算快。但，当自变量不是正交的时候，每次都在做投影，所以算法只能给出一个局部近似解。这个简单的算法太粗糙，不能直接用于Lasso回归。

前向梯度算法

前向梯度算法和前向选择算法有类似的地方，也是在$n$n个$X_i$Xi​中选择和目标$Y$Y最为接近(余弦距离最大)的一个变量$X_k$Xk​，用$X_k$Xk​来逼近$Y$Y。但前向梯度算法不是粗暴的用投影，而是每次在最为接近的自变量$X_t$Xt​的方向移动一小步，然后再看残差$Y_{yes}$Yyes​和哪个$X_i$Xi​最为接近。此时我们也不会把$X_t$Xt​去除，因为我们只前进了一小步，有可能下面最接近的自变量还是$X_t$Xt​。如此进行下去，直到残差$Y_yes$Yy​es减小到足够小，算法停止。

当$X$X只有2维时，例子如上图，和$Y$Y最接近的是$X_1$X1​，首先在$X_1$X1​上面走一小段距离，此处$\epsilon$ϵ为一个较小的常量，发现此时的残差还是和$X_1$X1​最接近。那么接着沿$X_1$X1​走，一直走到发现残差不是和$X_1$X1​最接近，而是和$X_2$X2​最接近，此时残差如上图长虚线。接着沿着$X_2$X2​走一小步，发现残差此时又和$X_1$X1​最接近，那么开始沿着$X_1$X1​走，走完一步后发现残差为0，那么算法停止。此时$Y$Y由刚才所有的所有步相加而模拟，对应的算出的系数$\theta$θ即为最终结果。

最小角回归算法

最小角回归对前向梯度和前向选择做了这种，保留了前向梯度算法一定程度上的精确性，同时简化了前向梯度算法一步步迭代的过程：

首先，找到与因变量$Y$Y最接近或相关度最高的自变量$X_k$Xk​，使用类似于前向梯度算法中的残差计算方法，得到新的目标$Y_yes$Yy​es，此时不用和前向梯度算法一样小步小步的走，而是直接向前走直到出现一个$X_t$Xt​，使得$X_t$Xt​和$Y_{(yes)}$Y(yes)​的相关度和$X_k$Xk​与$Y_{(yes)}$Y(yes)​的相关度是一样的，此时残差$Y_{yes}$Yyes​就在$X_t$Xt​和$X_k$Xk​的角平分线上，此时我们开始沿着这个残差角平分线走，直到出现第三个特征$X_p$Xp​和$Y_yes$Yy​es的相关度等于$\theta_t,\theta_k$θt​,θk​与$Y_{yes}$Yyes​的一样。将其也加入到$Y$Y的逼近特征集合中，并用$Y$Y的逼近特征集合的共同角分线，作为新的逼近方向，循环直到$Y_{yes}$Yyes​足够小或者所有变量都取完位置。

当$\theta$θ只有2维时。例子如上图，和$Y$Y最接近的是$X_1$X1​,首先在$X_1$X1​上走一段距离，直到残差在$X_1$X1​和$X_2$X2​的角平分线上，此时沿着角平分线走，直到残差足够小才停止。此时对应的系数$\beta$β即为最终的结果。

最小角回归法是一个适用于高维数据的回归算法，其主要的优点有：

1）特别适合于特征维度n 远高于样本数m的情况。

2）算法的最坏计算复杂度和最小二乘法类似，但是其计算速度几乎和前向选择算法一样

3）可以产生分段线性结果的完整路径，这在模型的交叉验证中极为有用

主要的缺点是：

由于LARS的迭代方向是根据目标的残差而定，所以该算法对样本的噪声极为敏感