信道编码之汉明码
基本思路
按一定的规律在发送的信息码元中加入一些冗余的用来检错纠错的监督码元（校验码元）。
·牺牲有效性来换取可靠性的提高
·利用监督码元与信息码元的关系在接收端检错纠错
分组码
信息序列每k位划分为一组，k个码通过一定的规则产生r个监督码元。
·编码效率：η=k/n
码字的汉明重量
码字中非零码元的数量，简称码重。
码字的汉明距离
两个n长码字对应码元取值不同的个数。
·编码的最小汉明距离dmin：在一种编码中，任意两码字间的最小距离
·码书：所有许用码字的集合
线性分组码中最小汉明距离与检错纠错的能力的关系
·为检测e个错码，要求最小码距dmin≥e＋1
·为纠正t个错码，要求码距dmin的≥2t＋1
·为纠正t个错码，同时又要求能检测e个错码，要求码距的dmin≥e＋t＋1
线性分组码的编码
监督码元由线性方程组产生，方程组的自变量为信息码元。
监督矩阵
将之前的线性方程组写成
的形式。C=（Cn-1，Cn-2…C2，C1,C0）
其中位于后面的Cr-1到C0为监督码元，前面的其他的部分是信息码元
·显然标准的H矩阵每一行都线性无关。
因为第1行仅有Cr等于1，其他行的Cr均等于0。
生成Cr位的监督码元仅与该行所代表的一个方程式有关。
H可表示为
生成矩阵
输出码字C表示为C=MG，则G为生成码字。
线性分组码的译码
错误图样
E称为错误图样，有错位的ei值为1，无错为0
伴随式和译码
监督矩阵描述的是监督码元和信息码元之间的关系，
而接收端可以依靠这样的关系进行译码
称S为接收码字R的伴随式
假设没有发生错误进行了一次成功的传输，则R=C，于是
假设发生了错误，则R=C与或E，于是
故可能的错误图样一定是
的解，在得到接收的码字R后算得伴随式S，H已知，故可以算出错误图样，但并不是唯一解（展开成线性方程组，则未知数个数有n个，即错误图样中的位数，然而只有H矩阵行数个方程，也就是监督码元的位数）。如果只错了一位，则得到的伴随式也一定只等于H矩阵中与出错码元相对的那一列。
汉明码
汉明限
（n，k）线性分组码的伴随式有2的n-k=r次方个可能的组合，假设纠错能力为t，则对于任何一个重量不大于t的错误图样都有与之对应的伴随式。则伴随式数量应满足：
完备码
满足汉明限的线性分组码
汉明码
纠错能力为1的完备码